• con un número finito de dígitos decimales no nulos ( ejemplo: 1/4 = 0,25000... al que podemos denotar sin ambiguedad 0,25 , omitiendo la cola de ceros periódicos ), en cuyo caso lo llamaremos decimal exacto; o bien
  
  
• con un número infinito de dígitos decimales no nulos, pero repitiendo de forma periódica una secuencia de d’gitos. ( ejemplo: 1/70 = 0,0142857142857142857... al que podemos denotar sin ambiguedad 0,0142857, subrayando la secuencia periódica una vez y omitiendo el resto ), en cuyo caso lo llamaremos decimal periódico.

Definición:
Diremos que un número es persistente si al ser multiplicado en base decimal por cualquier número entero positivo no nulo, el producto obtenido siempre contiene los diez d’gitos 0, 1, 2,... , 9 (con repeticiones permitidas).

Proposición 2:
No hay números enteros persistentes.

Demostración:
Dado cualquier entero n, el número 1/n es racional y por tanto puede expresarse en forma decimal de una de las siguientes formas:

• Como decimal exacto:
  
  Ejemplo: n = 4 -> 1/n = 1/4 = 0,25000... = 0,25
  
  Para este tipo de números, seguro que existe i tal que (1/n) á 10ⁱ = p , con p entero, y por tanto
  10ⁱ = n á p es múltiplo de n y sólo posee dos dígitos: el 1 y el 0.
  
  Ejemplo: n = 4 -> 1/n = 1/4 = 0,25000É = 0,25 -> (1/n) á 100 = 25 100 es múltiplo de n
  
  
• Como decimal periódico:
  
  Ejemplo: n = 70 -> 1/n = 1/70 = 0,0142857142857... = 0,0142857
  
  Llamemos P a la longitud de la secuencia que se repite periódicamente. Se cumple que (1/n) . 10^P Ð (1/n) es decimal exacto, ya que se cancelan exactamente todos los d’gitos de la secuencia periódica.
  
  Por ello, para este tipo de números, seguro que existe i tal que {(1/n) . 10^P - (1/n)} . 10ⁱ = p , con p entero, y por tanto { 10^P - 1 } . 10ⁱ = n . p es múltiplo de n y sólo posee dos dígitos: el 9 y el 0.
  
  Ejemplo: n = 70 -> 1/n = 1/70 = 0,0142857142857... = 0,0142857
  ( 1000000 . 0,0142857 - 0,0142857 ) . 10 = 142857
  9999990 . (1/70) = 142857 9999990 es múltiplo de 70

Podemos decir, entonces, que todo entero tiene un múltiplo con sólo dos d’gitos diferentes. Por ello, no hay enteros persistentes (qed).

1. El número N = 526315789473684210 no es persistente.
   
   Basta ver que si se multiplica por 19 (que es entero positivo), el número resultante sólo posee los dígitos 9 y 0 :
   
   19 . N = 9999999999999999990
   Curiosidades sobre el número N:
   
   Se puede escribir N en la bonita forma siguiente:
   N = (10²⁰ - 10¹ ) / (20 - 1)
   
   N es la secuencia periódica del número decimal periódico 1/19. Pero además, veamos qué pasa si dividimos un entero por 19:
   
     1/19 = 0. 052631578947368421052631578947368421...
     2/19 = 0. 105263157894736842105263157894736842...
     3/19 = 0. 157894736842105263157894736842105263...
     4/19 = 0. 210526315789473684210526315789473684...
     5/19 = 0. 263157894736842105263157894736842105...
     6/19 = 0. 315789473684210526315789473684210526...
     7/19 = 0. 368421052631578947368421052631578947...
     8/19 = 0. 421052631578947368421052631578947368...
     9/19 = 0. 473684210526315789473684210526315789...
   10/19 = 0. 526315789473684210526315789473684210...
   11/19 = 0. 578947368421052631578947368421052631...
   12/19 = 0. 631578947368421052631578947368421052...
   13/19 = 0. 684210526315789473684210526315789473...
   14/19 = 0. 736842105263157894736842105263157894...
   15/19 = 0. 789473684210526315789473684210526315...
   16/19 = 0. 842105263157894736842105263157894736...
   17/19 = 0. 894736842105263157894736842105263157...
   18/19 = 0. 947368421052631578947368421052631578...
   19/19 = 1. 000000000000000000000000000000000000
   Es decir, para todo número entero n, se cumple que:
   • o bien n divide a 19,
     
     
   • o bien n/19 es un número racional con infinitos decimales que repite periódicamente la secuencia 526315789473684210, que es curiosamente el número N que se nos proponía.
   
   
   Asignemos, mediante la función f, a cada número entero n el desplazamiento hacia la derecha que se produce en el inicio de la secuencia periódica 526315789473684210 en n/19 respecto de 1/19.
   
         f
     0 -> ?
     1 -> 0
     2 -> 1
     3 -> 13
     4 -> 2
     5 -> 16
     6 -> 14
     7 -> 6
     8 -> 3
     9 -> 8
   10 -> 17
   11 -> 12
   12 -> 15
   13 -> 5
   14 -> 7
   15 -> 11
   16 -> 4
   17 -> 10
   18 -> 9
   
   
   19 -> ?
   20 -> 0
   21 -> 1
    .. -> ..
   
   
   Curiosidades de la función f:
   
   • f(n)=f(n mod 19)
     
     
   • No está definida para n múltiplo de 19
     
     
   • Ahí va la más curiosa: f(n.m)=f(n)+f(m)
   
   En el dominio de los reales la única función continua que lo cumple es el logaritmo, que es función biyectiva y tiene como función inversa a la exponencial.

   Con esta idea, si tomamos como dominio de f a los enteros de 1 a 18, la imagen son los enteros del 0 al 17, la función es biyectiva y se puede demostrar que su función inversa, dentro de su dominio, es la exponencial 2^k mod 19
   
   

2. Se nos pide si hay números persistentes menores que N = 526315789473684210 Sabemos que no hay enteros persistentes. Aún as’, el enunciado del problema no exige que el número sea entero. Por ello, podemos contar con números reales. Por otra parte, los racionales n/q, al ser multiplicados por múltiplos de q se convierten en enteros, con lo que nos quedamos atascados. Por ello, si no hay enteros persistentes, entonces la única esperanza de encontrar números persistentes dentro de los reales ser’a en los números irracionales.

   Dado que se pueden construir irracionales que no tengan los diez d’gitos (por ejemplo 0,0110010..., con una distribución no periódica de ceros y unos), la condición de irracionalidad no es suficiente (a parte de quizá no necesaria). Hay que notar, sin embargo, que los que tienen los diez d’gitos son infinitamente más numerosos, lo cual nos deja con más esperanzas que con los enteros.

Perm’tanme conjeturar que números como p, e o quizá sean persistentes.