Solución al problema de diciembre, 2001

Hay solamente un entero n para el cual la expresión

es un entero. Encuentre este valor de n y muestre que no hay otros enteros con esta propiedad.

Solución

El problema de este mes ilustra claramente la forma en que las matemáticas han cambiado en los últimos veinte años. Presentamos dos soluciones, la primera de hace veinte años por el ya fallecido W.J. Bludon de la Universidad Memorial de Newfoundland, y la segunda por Juan Pieras de España.

Tomamos el problema de Cruz Mathematicorum 7:1 (1981), página 31. La solución de Blundon hace uso de un truco que vale la pena recordar para uso futuro. Usando el proceso de la división vemos que el denominador cabe en el numerador 2n + 9 veces con un residuo que involucra a la n, específicamente

El residuo puede ser un entero solamente cuando 3n + 5 divide al numerador. Como 3n - 5 y 3n - 4 difieren por 1, éstos son primos relativos; esto significa que E(n) puede ser un entero solamente si 3n - 5 divide 5n + 4. Ahora el truco. Si 3n - 5 divide a 5n + 4, entonces necesariamente también divide
3(5n + 4) - 5(3n - 5) = 37 Como 37 es primo concluimos que 3 - 5 = ± 1 o 3n - 5 = ± 37. Rápidamente eliminamos -1 (ya que implica que n = ⁴/₃) y -37 (ya que implica que n = ^-32/₃), porque n es un entero. Cuando 3n - 5 = 1, n = 2 y E(2) = 7.4, lo cual no es un entero. Quedando 3n - 5 = 37, en cuyo caso n = 14 y E(14) = 41. entonces E(n) es un entero si y solo si n = 14.

Solución de Juan Mir Pieras

En estos tiempos la mayoría de nosotros tenemos acceso a un computadora y podemos rápidamente calcular el valor de E(n) para ciertos valores de n (siempre y cuando éstos no sean muchos). Consecuentemente, todo lo que tenemos que hacer es producir una lista corta de posibles valores para n. Con este fin, solo continuamos dividiendo tanto como sea posible:

Aquí el residuo (esto es, el cociente que involucra a la n) tiende a cero cuando el valor absoluto de n es muy grande. E(n) no puede ser un entero cuando el residuo es menos de _, y el siguiente análisis determina que el residuo deja de ser menos de _ solamente si -23 <= E(n) <= 32.

Tratando de forma general a la función E(n) como una función sobre los reales, y despuŽs particularizando para los enteros, se tiene lo siguiente.

La función

es el resultado de dividir un polinomio de tercer grado por uno de segundo grado.

Si hacemos la división:

entonces vemos fácilmente que
c(n) = 2n + ²³/₂ es una asíntota oblicua de E(n), porque todo lo demás

tiende a 0 para |n| grande.

En la siguiente gráfica, representamos E(n) en rojo, c(n) en amarillo y dif(n) en verde.

Diciendo que c(n) es asíntota oblicua estamos asegurando que: para todo , existen unos valores Min. y Max. tales que si m < Max. o m > Max., entonces

|E(m) - (2m + ²³/₂)| = |dif(m)| <

( Si tomamos el caso particular

= ¹/₂, entonces: existen unos valores Min. y Max. tales que si m < Min. o m > Max., entonces
|E(m) - (2m + ²³/₂)| < ¹/₂, es decir, 2m +11 < E(m) < 2m + 12,

si ahora m es entero, E(m) está entre dos enteros consecutivos, así que no puede ser entero. Por ello, para que E(n) sea entero, entonces n debe cumplir Min. < n < Max.

Ya que E(n) es la división de dos polinomios, y las dos raíces del denominador ( ⁵/₃ y ⁹/₂) no anulan al numerador, las únicas discontinuidades de E(n) serán en esos dos valores, formando asíntotas verticales en cuyo entorno E(n) cumplirá forzosamente

|E(n) - (2m + ²³/₂)| = |dif(n)| > ¹/₂ Por ello, como mínimo en dos momentos (uno antes de la primera raíz, ⁵/₃, y otro despuŽs de la segunda, &nnbsp;⁹/₂) se tiene que |dif(n)| = 1/2

Buscamos los valores que cumplen:

dif(n) = 1/2

169 n - 257 = 6 n² - 37 n + 45

(ecuación de segundo grado)
n = 32.8, 1.53
dif(n) = -1/2

-(169 n - 257) = 6 n² - 37 n + 45

n = 1.50, -23.5

Por ello, E(n) sólo puede ser entero si

-23 < n < 32

Hacemos una tabla de valores:

n	E(n)
-23	-35,0090909
-22	-33,028169
-21	-31,0487313
-20	-29,0709576
-19	-27,0950583
-18	-25,1212806
-17	-23,1499169
-16	-21,1813162
-15	-19,2158974
-14	-17,2541691
-13	-15,2967532
-12	-13,3444198
-11	-11,3981324
-10	-9,4591133
-9	-7,52893519
-8	-5,60965517
-7	-3,70401338
-6	-1,81573499
-5	0,05
-4	1,88581315
-3	3,68095238
-2	5,41958042
-1	7,07954545
0	8,64444444
1	10,3571429
2	7,4
3	7,08333333
4	-10,4285714
5	50,9
6	33,2051282
7	31,2875
8	31,6165414
9	32,6919192
10	34,1054545
11	35,7005495
12	37,4043011
13	39,1782007
14	41
15	42,8559524
16	44,7371082
17	46,6373913
18	48,5525321
19	50,479443
20	52,4158358
21	54,3599791
22	56,3105386
23	58,2664696
24	60,2269422
25	62,1912892
26	64,1589678
27	66,1295322
28	68,1026124
29	70,0778995
30	72,0551326
31	74,0340909
32	76,0145854

La única solución es para n = 14, con E(14) = ²⁸⁸²³/₇₀₃ = 41.

Haga que su computadora calcule los 55 valores de E(n) y una vez mas uno ve que la única vez que E(n) es un entero es cuando n = 14 y E(14) = 41.