Solución del problema de abril del 2004

¿Para que enteros positivos es n4 + 4n un número primo?

Solución de MP41

Recibimos soluciones de Saïd Amghibech (internet), Pierre Bornsztein (Francia), Gilles Feyrit (Francia), Wolfgang Kais (Alemania), Normand Laliberté – una solución parcial (Ontario), Patrick LoPresti (USA), y Juan Mir Pieras (España).  Todas las soluciones fueron básicamente las mismas

S := n4 + 4n es primo solamente cuando n = 1, en cuyo caso S= 5.  

Todos notaron que cuando n es par n4 y 44 son ambos pares –su suma será propiamente divisible por 2 y, por lo tanto, no primo. (De hecho, 24 = 42 = 16 así que la suma será divisible por 16 para todos los valores pares de n.) Tenemos reducido el problema a este

Encuentre aquellos números nones  n = 2k + 1, k ≥ 0, para los cuales

S = n4 + 42k+1 = n4 + 4(4k)2

es primo.

1. Solución de Amghibech y Bornsztein.

Use el hecho de que

a4 + 4b4 = (a2 + 2ab + 2b2)(a2 - 2ab + 2b2)
=((a+b)2 + b2)((a-b)2 + b2)

al final regresaremos a la pregunta de como factorizar un polinomio de grado 4. Por ahora ya que S = n4 + 4(22k)2 = n4 + 4(2k)4 usaremos la factorización con  a = n y b = 2k:

S = ((n + 2k)2 + 22k)((n - 2k)2 + 22k)

El factor menor es la suma de los cuadrados que son ambos mas grandes que 1 cuando k > 0  (y n >  1), así que S será primo solamente para k = 0.

2. Solución de Feyrit, Kais, y LoPresti.

Observe que r2 + s2 = (r+s)2 – 2rs, entonces con r = n2 y s = 2(4k),

S = (n2 + 2(4k))2 - 4n24k = (n2 + 2(4k))2 - n24k+1

Notamos que como 4k+1 = (2k+1)2, S es una diferencia de dos cuadrados, que pueden ser factorizados como

S = ((n2 + 2(4k)) + n(2k+1))((n2 + 2(4k)) - n(2k+1))

Aún debemos demostrar que el factor menor excede 1 cuando k > 0.  Aquí esta un argumento sencillo para k ≥ 3:

n2 + 2(4k) - n(2k+1) = n2 + 2k(2k+1) - (2k+1)(2k+1)
> 2k(2k+1) - (2k + 1)(2k+1)
= (2k - 2k - 1)(2k+1)
> 1

así que simplemente lo corroboramos para  k = 1 y 2, el factor menor es 5 y 17.

3. Observación de LaLiberté y LoPresti.

            Ya que los valores iniciales de S son 5, 32, 145, 512, ..., uno podría especular que los valores de S para el non n son divisibles por 5.  En efecto, cuando n es non y no congruente a 0 mod 5, 4n (mod 5) = –1 y nn (mod 5) = 1, entonces S = 4n + n4º 0 (mod 5).  Esto significa que para n > 1, n non, y n ≠ 5k, 5 es un factor propio de S.  Esto deja solo por resolver el caso n = 5k con k non. Desafortunadamente, cuando k = 1 (esto es, cuando n = 5) S = 1649 = 17·97, lo cual sugiere que es hora de buscar una nueva dirección!  Ya sea que uno tenga que empezar de nuevo (como lo hizo Lo Presti), o trate  de separar la diferencia: (17 + 97)/2 = 57; de donde, 17 = 57 – 40 y 97 = 57 + 40.  Por supuesto, 40 = 23·5, lo cual es una muy buena pista. Esto sugiere una forma de factorizar S:

S = n4 + 4n = n4 + 45k = n4 + 210k
= (n2 + 25k + 2(5k+1)/2 n)(n2 + 25k - 2(5k+1)/2 n)

lo cual reconocemos como un caso especial de nuestra primera solución dada arriba.

Pregunta: ¿Como factoriza uno un polinomio de grado cuatro?

El polinomio de grado cuatro en general es

p(x) = c4x4 + c3x3 + c2x2 + c1x + c0,

o en su forma homogénea (replazando x por a/b y multiplicando todo por b4),

q(a, b) = c4a4 + c3a3b + c2a2b2 + c1ab3 + c0b4.

Es un hecho que cualquier polinomio de grado cuatro con coeficientes reales puede ser factorizado en un producto de dos polinomios de grado dos con coeficientes reales.  La fórmula ha sido conocida desde el siglo dieciséis, y el software que hace esto por usted esta ya disponible; vea por ejemplo,

http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html

Por otra parte, la factorización es práctica solamente en casos especiales tales como

q(a, b) = a4 + b4.

No es necesario memorizar la fórmula. Por simetría la factorización debe ser

a4 + b4 = (a2 + xab + b2)(a2 + yab + b2).

Para encontrar x y y, multiplique el lado derecho y observe que el coeficiente de ambos a3b y ab3 es x + y, y de a2b2 es 2 + xy.  Para que la desigualdad sea cierta estos coeficientes deben ambos ser cero, así que x = –y = √2.  De donde,

a4 + b4 = (a2 + √2 ab + b2)(a2 – √2 ab + b2).

Para el factor a4 + 4c4 (= a4 + (√2 c)4) uno puede usar b = √2 c en nuestra fórmula; alternativamente, resuelva a4 + 4c4 = (a2 + xac + 2c2)(a2 – xac + 2c2) para x.  De cualquier manera, uno obtiene la fórmula usada en nuestra primera solución.  Bornsztein incluyó el nombre de Sophie Germain (1776 – 1831) a ésta fórmula, esto sería sorprendente de no ser por los antiguos griegos que la sabían 2000 años antes de que Germain hubiera nacido.  Otra cuadrática que se puede factorizar fácilmente es p(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1; como un ejercicio simple usted mismo puede intentar factorizarla.