El juego de toque (para los meses de invierno)

Alicia y sus dos amigos Roberto y Cristobal han decidido jugar "el juego del toque". Se sientan de tal foma que se pueden ver uno al otro. A cada uno se le da una bolsa con dos toques uno con un pompom blanco y otro con un pompom rojo. Se vendarán lo ojos y cada uno escogerá un toque al azhar de la bolsa y se lo pondrá. Cuando se descubren los ojos, los jugadores podrán ver los pompoms en los toques de los otros, pero no el propio. No se les permitrá comunicarse entre ellos con gestos o gritos, y tendrán que susurrar a un arbitro que estará junto a ellos "creo que mi pompom es blanco" o "yo creo que mi pompom es rojo" o "paso". Si por lo menos uno de ellos adivina correctmaente y nadie se equivoca, ellos ganan un viaje a Moose jaw, Saskatchewan. Si no es asi solamente ganan palomitas de maiz. Alicia y sus amigos pueden seguir una estrategia antes de empezar a jugar que les dará un mejor resultado. Por ejemplo, ellos pueden decidir que solamente Alicia trate de adivinar y los otros pasan; esta estrategia les de un 50 porciento de probabilidades de ganar. ¿Hay alguna otra forma de hacerlo mejor?

Solución de MP46

El enunciado de nuestro problema debió haber hecho énfasis en que las reglas del juego no permiten señales de ninguna clase. Los tres jugadores adivinan simultáneamente, y sus palabras son oídas solamente por los árbitros, no por los participantes. Mas al punto, la solución tiene que hacer uso del razonamiento matemático, sin triquiñuelas. Varias de las respuestas que recibimos sugirieron estrategias para ganar que requerían señales como las que se usan en el juego de bridge. Sin embargo recibimos estrategias óptimas de Xavier Hecquet (Francia), Wolfgang Kais (Alemania), Patrick LoPresti (Estados Unidos), Dat Phan (Regina), and Lionel Ruiz (Francia).

La estrategia óptima:

Si usted ve los dos pompones del mismo color, adivine que su pompon tiene el color opuesto. Si no es así, pase.

Usando esta estrategia el equipó tendrá un 75% de probabilidades de ganar. Para ver porque, note que hay ocho arreglos posibles de colores; cada uno de ellos son igualmente probables:

En dos de estos casos, el primero y el  ultimo, todos los pompones tienen el mismo color. Al usar aquí nuestra estrategia, todos los participantes adivinaran equivocadamente (escogiendo el color opuesto), de donde el equipo perderá dos veces de ocho. En los seis casos restantes, un pompon tiene un color diferente de los otros dos. Así que en el Segundo caso, por ejemplo, Alicia y Roberto tienen rojo, mientras que Cristóbal tiene paso. Ambos Alicia y Roberto verán ambos colores y pasarán, mientras que Cristóbal ve dos rojos y adivinará paso. Con esta estrategia el equipo ganará en todos los seis casos mixtos, así que su probabilidad de éxito será de 75%.

            Note que aún cualquier individuo tiene solamente una oportunidad de 50-50 de adivinar correctamente, pero es el equipo el que gana o pierde, no el individuo. Lo que hace que la estrategia funcione es que todas las adivinanzas equivocadas se acumulan en los dos últimos casos que son los perdedores. Hay una lección por aprenderse aquí – en las palabras de Gadiel Seroussi, director de la investigación de teoría de la informática en los laboratorios HP, “Si la evidencia indica que alguien en su equipo sabe mas que usted, entonces usted debe de mantenerse callado.”

            Pero, ¿es posible mejorar este 75%?  La respuesta es no, jugando siguiendo las reglas y usando una estrategia determinista.  Este es el argumento de Patrick Lo Presti.  Considere cualquier caso C el cual el equipo gana. Por lo menos un jugador X adivina correctamente.  Sea C'  el caso en el cual X tiene un color cambiado, pero sus compañeros de equipo conservan sus colores. Entonces X ve que lo que vio en el caso C, pero en el caso C'  el adivinó equivocadamente, y el equipo pierde.  Argumentando cuidadosamente que cambiando todos los tres colores del caso C’ a su caso complementario se llegará similarmente a perder, vemos que debe de haber por lo menos dos casos en los que se pierde.

Otros comentarios.

            Por supuesto que el mismo juego puede ser jugado con cualquier número de jugadores. El problema general es encontrar una estrategia para un equipo de n jugadores que maximice sus oportunidades de ganar. En esta forma el juego se reduce a un problema en teoría de códigos y como tal, tiene aplicaciones de códigos con errores corregibles (los códigos que hace la transmisión de datos, teléfonos celulares y discos compactos posibles), y códigos a cubrir (los cuales son usados para comprimir datos para que ocupen menos espacio en la memoria del computador). Parece ser que hay matemáticas serias asociadas al juego, pero la estrategia óptima no es conocida para n en general. Hay una discusión interesante del problema en el  New York Times (10 de Abril de 2001; vea

http://www.worlds-fastest-website.com/why-mathematicians-care-about-hat-color.htm).

Hemos visto también artículos en Scientific American, y en Focus, el boletín de la Asociación Matemática de América.  (perdón, pero no podemos ser mas precisos con nuestras referencias en este momento).