Dos jugadores toman turnos eligiendo un coeficiente a_i del polinomio

x¹⁰ + a₉ x⁹ + ... + a₁ x + 1

y remplazándolo con un número real cualquiera. El juego termina luego de 9 movidas, cuando todos los a_i han sido elegidos. El primer jugador gana si el polinomio resultante no tiene raíces reales, mientras que el segundo gana si el polinomio tiene al menos una raiz real. Existe una estrategia ganadora para uno de los jugadores: gana no importa lo que haga el rival. Qué jugador es, y cuál es la estrategia ganadora?

            Recibimos soluciones correctas de

Solución.

El Segundo jugador tiene la estrategia ganadora. 

            Las cuatro estrategias presentadas son similares. Reproducimos aquí la solución de Pierre Bornsztein.

            Entre los nueve coeficientes del polinomio que hay que determinar, cinco corresponden a las potencias impares de x y cuatro a las pares. Si el primer jugador, llamémoslo A, elige un coeficiente de índice par, el segundo jugador, llamémoslo B, debe elegir un índice impar, y viceversa; B puede elegir cualquier valor para su coeficiente. Repite este procedimiento para su segunda y tercera elección. Después de siete movidas, cuando es el último turno de B, quedan dos coeficientes sin elegir, digamos a_p y a_q, con al menos uno de ellos, digamos p, impar. Sea Q(x) la parte de P(x) ya determinada por las siete elecciones previas, de manera que

  P(1)  = Q(1) + a_p + a_q

P(–1)  = Q(–1) – a_p + a_q
  
P(1) + P(–1)  = Q(1) + Q(–1) + 2a_q.

Entonces, si B elige a_q = –(½)(Q(1) + Q(–1)), entonces con seguridad P(1) + P(–1) = 0 no importa qué valor elija A para a_p.  Luego, o P(1) = P(–1) = 0, o estos dos números tiene signos opuestos. En el primer caso, B gana porque P(x) tiene al menos una raiz real (en realidad, al menos dos: 1 y –1); en el segundo caso,  B gana porque como los polinomios son continuos para todo x, el teorema de los valores intermedios garantiza que P(x) va a tener una raiz entre –1 y 1, de manera que B gana cualquiera sea el valor de P(1).

Caso 2: q es impar.   

2^q P(–1)  =  2^q Q(–1) – 2^q a_p– 2^q a_q
     P(2)   =  Q(2)   + 2^p a_p + 2^q a_q
                          
2^q P(–1) + P(2)  = 2^q Q(–1) + Q(2) + (2^p– 2^q) a_p.

Si B elige a_p = (2^q Q(–1) + Q(2))/(2^q – 2^p), tiene certeza de que 2^q P(–1) + P(2) = 0 no importa el valor que A elija para aq. Como antes, o P(–1) y P(2) son ambos nulos, o tienen signos opuestos. En ambos casos, gana B. 

            Vemos entonces que no importa lo que haga A, gana B.

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