Dado un par de ecuaciones cuadráticas a coeficientes enteros b y c, x2 - bx + c = 0 y x2 - bx - c = 0, decimos que son compatibles si ambas tienen soluciones enteras.
Por ejemplo,
x2 - 5x + 6 = 0 tiene soluciones 2 y 3, mientras que
x2 - 5x - 6 = 0 tiene soluciones -1 y 6.
Por supuesto, podemos multiplicar b y c por d y d2 para obtener el par relacionado x2 - bdx ± cd2 = 0, pero estamos interesados en pares donde b y c no tienen divisores comunes. Hay algún otro par compatible?
El problema de este mes está basado en el artículo "Curious Consequences of a Miscopied Quadratic",por Jeffrey L. Poet y Donald L. Vestal, Jr. en el College Mathematics Journal, 36:4 (September 2005), pp 273-277.
Recibimos soluciones correctas de
Vincent Bardoux (Francia) |
Aleksandar Ilic' (Serbia y Montenegro) |
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Pierre Bornsztein (Francia) |
Wolfgang Kais (Alemania) |
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Sebastien Dumortier (Francia) |
Matthew Lim (internet) |
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Philippe Fondanaiche (Francia) |
Patrick LoPresti (USA) |
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| Xavier Hecquet (Francia) | Juan Mir Pieras (España) | |
| Karim Iaaouini (Marruecos) | Mark Pilloff (USA) | |
| Wilfrid Pillard (Francia) |
Solución.
La mayoría de los que respondieron, explícitamente Bardoux, Bornsztein, Iaaouini, 
, Kais, Lim, LoPresti, y Mir, notaron la conexión entre los pares compatibles y los triplets pitagóricos (es decir, tripletes A, B, C de enteros que satisfacen A2 + B2 = C2). Para explicar lo que esto significa, combinaremos ideas de cada una de las respuestas.
La solución a x2– bx + c = 0 es 
. Notar que para enteros b y c, b2 – 4c tiene la misma paridad que b; luego si 
es un entero, va a tener la misma paridad que b, y por tanto x es un entero. La recíproca es inmediata: si x es un entero, también lo es . Similarmente, x2– bx – c = 0 tiene soluciones enteras si y solo si 
es en entero. Se sigue que
b y c determinan un par compatible si y solo si existen enteros r y s que satisfacen r2 = b2– 4c y s2 = b2 + 4c.
Teorema. Sean y . Si b y c determinan un par compatible primitivo, entonces 
es un triplete pitagórico primitivo; recíprocamente, si A, B, C es un triplete pitagórico primitivo, entonces r = A – B y s = A + B conducen a un par compatible primitivo cuyos coeficientes satisfacen 2 b2 = r2+ s2 = 2(A2 + B2) y 8c = s2– r2 = 4AB.
Prueba. Supongamos que b y c forman un par compatible primitivo. De las definiciones,
(r – s)2/4 + (r + s)2/4 = (1/4)(r2– 2rs + s2 + r2 + 2rs + s2)
= (1/2)(r2 + s2) = (1/2)(b2– 4c + b2 + 4c) = b2,
de manera que es un triplete pitagórico. Solamente debemos verificar que los tres enteros son corrimos cuando b y c son corrimos. Si d > 1 divide a los dos primeros, entonces d2 dividiría a su producto (r2– s2)/4 = 2c, y entonces d dividiría a c. Como asumimos que el par b, c no tiene divisores comunes salvo 1, ningún divisor no trivial de c puede dividir a b; en consecuencia, el triplete no puede tener otro divisor común que 1.
Para la recíproca, comenzamos con un triplete pitagórico A, B, y C = 
= b. Entonces A y B no pueden ser ambos impares (porque los cuadrados de enteros solamente pueden ser 0 ó 1 módulo 4), de manera que c = AB/2 es también entero. Chequeamos fácilmente que
y 
son ambos enteros, por lo que éstos sirven como los números r y s que corresponden al par b y c (como vimos en el párrafo previo al teorema). Además, cualquier divisor primero de b y c tiene necesariamente que dividir a C (= b) y al menos uno de A y B; entonces, (como A2 + B2 = C2) dividiría necesariamente a los tres A, B, y C, lo que implica que el triplete pitagórico original no es primitivo. En otras palabras, si el triplete es primitivo, también lo es el par compatible b y c.
Los libros de teoría de números elemental nos dicen que podemos generar todos los tripletes pitagóricos primitivos comenzando con dos enteros m y n que satisfagan
m > n; m y n tienen distinta paridad y son coprimos.
Juntando todas las piezas, podemos construir todos los pares b y c a partir de m y n, y un entero positivo arbitrario k:
,
y para estos b y c, las soluciones a x2– bx + c = 0 son x =
,
y las soluciones a x2– bx – c = 0 son x =
.
Los pares compatibles resultantes son primitivos si y solo si k = 1.
He aquí los primeros ejemplos de pares primitivos compatibles.
m |
n |
b |
c |
Pare compatibles |
2 |
1 |
5 |
6 |
x2– 5x + 6 = (x – 3)(x – 2) |
3 |
2 |
13 |
30 |
x2– 13x + 30 = (x – 10)(x – 3) |
4 |
1 |
17 |
60 |
x2– 17x + 60 = (x – 5)(x – 12) |
4 |
3 |
25 |
84 |
x2– 25x + 84 = (x – 4)(x – 21) |
El resultado principal de Poet y Vestal's es su artículo del CMJ es un teorema muy similar al nuestro. A partir de allí continúan interpretando hechos familiares sobre tripletes pitagóricos como afirmaciones sobre pares compatibles. Por ejemplo, si b tiene un factor primo congruente con 1 módulo 4, entonces hay un par compatible x2– bx ± c. Más aún, si la factorización prima de b contiene solo primos congruentes con 1 módulo 4, entonces el par compatible correspondiente en primitivo. Más preguntas son discutidas en la página de Vestal http://staff.missouriwestern.edu/~vestal/talks.html.
Hay otras maneras interesantes de atacar el problema. Hecquet y Pilloff simplificaron su trabajo exhibiendo una familia uniparamétrica de pares primitivos compatibles, explícitamente
b = n2 + (n + 1)2,
c = n(n + 1)(2n + 1).
Fondanaiche también comenzó con las ecuaciones r2 = b2– 4c y s2 = b2 + 4c, y las sumó para obtener 2b2 = r2 + s2. Interpretó esto como una familia de ecuaciones de Pell y usó esa teoría para producir pares compatibles primitivos. Por ejemplo, si uno pone s = 1, y comienza con la solución r = 7, b = 5 (y c = (r2 – 1)/8 = 6), se obtiene una familia uniparamétrica definiendo el vector columna X1 =
, y usando la recursión Xn = 
Xn–1. Para el caso s = 1 las soluciones a la ecuación de Pell resultante son
r |
b |
c |
7 |
5 |
6 |
41 |
29 |
210 |
239 |
169 |
7140 |
1393 |
985 |
242556 |
... |
... |
... |
Dumortier nos proveyó de una lista de todos los pares compatibles primitivos b, c con c < 1000:
5, 6
13, 30
17, 60
25, 84
29, 210
37, 210
41, 180
53, 630
61, 330
65, 504
65, 924
85, 546
101, 990
113, 840.