Solución del problema de Enero del 2006

 

 

Feliz Año Nuevo! El equipo del Problema del mes te desea tanta salud y felicidad este año como las que disfrutaste el año pasado:

Encuentra el máximo valor posible de f(2006) - f(2005) donde f es una función a valores reales que satisface la desigualdad

|f(x) - f(y)| ≤ (x-y)2

para todo par de números reales x e y

            Recibimos soluciones correctas de

Saïd Amghibech (Québec)

Aleksandar Ilic (Serbia and Montenegro)

Vincent Bardoux (Francia)

Wolfgang Kais (Alemania)

Pierre Bornsztein (Francia)

Normand Laliberté (Ontario)

Sebastien Dumortier (Francia)

Matthew Lim (internet)
Philippe Fondanaiche (Francia) Juan Mir Pieras (España)
Xavier Hecquet (Francia)  Mark Pilloff (USA)

Solución.

Resulta que f es una función constante, de manera que f(x) = f(y) para todos los valores de x e y; en particular,

f(2006) – f(2005) = 0. 

Nuestroslectoresproveyeron dos formas de veresto.

Método 1.  (Usando la desigualdad triangular)

Sea n un entero positivo y definamos xk = 2005 + k/n para k = 0, 1, ..., n.  Entonces

|f(2006) – f(2005)|= |f(xn) – f(x0)

                        = |(f(x1) – f(x0)) + (f(x2) – f(x1)) +... + (f(xn) – f(xn–1))|

                        ≤ |(f(x1) – f(x0))| + |(f(x2) – f(x1))| +... + |(f(xn) – f(xn–1))|

                                                                          (por desigualdad triangular)

                        ≤ (x1– x0)2 + (x2– x1)2+... + (xn– xn–1)2            (por definición de f)

                                = n(1/n)2                                                                (por definición de xk)

                                = 1/n

Como |f(2006) – f(2005)| ≤ 1/n para todos los enteros positivos n, f(2006) – f(2005) = 0 como se quería probar.  Por supuesto, en el argumento anterior podemos reemplazar 2006 por x, 2005 por y, y hacer xk = x + k(y – x)/n, probando entonces que f(x) – f(y) = 0 para todo x, y.  En otras palabras, f es constante.

 

Método 2.  (Usando cálculo elemental)

Cuando ponemos y = x + h, la desigualdad dada se convierte en

|f(x + h) - f(x)| ≤ (x + h – x)2 = h2.

Luego, para todo x fijo y para todo h,

Haciendo tender h a cero vemos que el límite del cociente es cero. Luego, f es diferenciable para todo x y su derivada cumple f '(x)  = 0, lo que implica que f(x) es constante (Teorema del Valor Medio).  Vemos por tanto que f(x) = f(y) para todo x, y.