Encuentre el máximo común divisor de los 1003 enteros

            Recibimos soluciones correctas de

Solución.

Sea D el máximo común divisor que buscamos. Probaremos que D = 2.

Paso 1. D divide a 2²⁰⁰⁵.

De la formula del binomio,

y

Restando la segunda de la primera y dividiendo por 2, obtenemos

Luego el máximo común divisor D de  tiene que dividir a su suma 2²⁰⁰⁵, como se quería demostrar.

Paso 2.  Como D también debe dividir a  = 2·1003, vemos que

D es necesariamente 1ó 2.

Paso 3.   es par para  j = 1, ..., 1003.

Usamos la identidad (comentada abajo)  para verificar que

.

Como el lado derecho el par y 2j – 1 es impar, deducimos que  es par. O sea, todos nuestros coeficientes binomiales son pares.

            Concluimos que D = 2, como se quería demostrar.

Comentarios y generalizaciones.

El paso 3 depende de una identidad bien conocida. Puede verificarla, si desea, usando la aritmética:

;

o, puede usar un “argumento de comité”:

Para elegir un comité de n miembros con un presidente usted puede o elegir los n miembros (de  maneras) y luego elegir al presidente de entre ellos, o puede primero elegir al presidente de entre el grupo total de m y luego elegir los restantes n-1 de entre los m-1 restantes.

            En lugar del paso 1, cinco de nuestros lectores hicieron uso directo de que  = 2006 = 2·17·59, lo que implica que D divide a 2·17·59.  Tenían entonces simplemente que mostrar que  no es divisible por 17 mientras que  no es divisible por 59.  Una ventaja del argumento presentado en nuestra solución es que los mismos tres pasos muestran, más generalmente, que

Si q es impar, el máximo común divisor de es 2^h.

Agradecemos a Gupta, Mir, y Campo por esta observación.  Matthew Lim llevó la generalización más lejos. Probó que

Si p es un número primo y m un entero fijo coprimo con p, entonces p^h es el máximo común divisor de los números  , con 1 ≤ k < phm y k coprimo con p.

Para él, el paso 1 tuvo que ser reemplazado por un argumento de que si q es un divisor primo de m y q^b es la mayor potencia de q que divide a m, entonces q no divide a .  Los detalles no son difíciles, particularmente si uno conoce un útil teorema de Kummer.