El profesor Adams escribió en el pizarrón un polinomio f(x), a coeficientes enteros, y dijo: "hoy es el cumpleaños de mi hijo, y si evaluamos el polinomio en su edad A, tenemos f(A)=A. Notarán también que f(0)=p, y que p es un número primo mayor que A". ¿Qué edad tiene el hijo del profesor Adams?

El problema de este mes apareció en el "Ontario Secondary School Mathematics Bulletin" a fines de los 60.

            Recibimos soluciones correctas de

Solución.

            Podemos escribir el polinomio como

con todos los coeficientes a_i enteros.  Como f(0) = p, debe ser a₀ = p; y ya que f(A) = A  nuestro polinomio debe satisfacer

Como A representa la edad del hijo, es un entero positivo. De la última ecuación, deducimos que A divide a p (porque divide todos los otros términos).  Pero p es un primo mayor que A.  El único entero positivo menor que p que lo divide es 1.

Concluimos que A = 1 — el niño tiene un año de edad. Feliz Cumpleaños.

            Notar que f(x) puede ser cualquier polinomio que tenga como término constante un primo p, y coeficientes enteros que sumen 1. Un simple ejemplo de Mark Pilloff: f(x) = 3 – 2x.