Solución del problema de Octubre del 2005

 

El primer jugador lanza una moneda 1001 veces, mientras que el segundo lanza una moneda solamente 1000 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer jugador obtenga más caras? (¡Por favor evitar los cálculos tediosos!)

            Recibimos soluciones correctas de

Said Amghibech (Quebec) 

Wolfgang Kais (Alemania)

Daniel Bitin (internet) 

Arne Loosveldt (Bélgica)

Pierre Bornsztein (Francia)

Patrick LoPresti (USA)

K.A. Chandrashekara (internet)

Juan Mir Pieras (España)

Philippe Fondanaiche (Francia) Mark Pilloff (USA)

 

            Se asume que las monedas no tienen sesgo: P(caras) = P(cruces) = ½ para cada lanzamiento.

Método 1.  Soluciones similares de Bitin, Bornsztein, Fondanaiche, Kais, Loosveldt, LoPresti y Pilloff.

            Hay tres posibles situaciones cuando cada jugador ha terminado sus 1000 lanzamientos.

            Situación A: El jugador 1 lanza más caras que el jugador 2.

            Situación B: El jugador 1 lanza menos caras.

            Situación C: Ambos jugadores lanzan el mismo número de caras.

Como ocurre exactamente una de cada situación, P(A) + P(B) + P(C) = 1.  Como asumimos que no hay sesgo, se sigue que P(A) = P(B) = .  Hay dos maneras según las cuales el primer jugador puede terminar con más caras: u ocurre A y tiene más caras luego de 1000 lanzamientos, u ocurre C (están empatados luego de 1000 lanzamientos) y su tirada final es cara. Denotemos este evento como H, y notemos que P(H) = ½.  La probabilidad de que el jugador 1 tenga más caras es entonces

P(A) + P(C)·P(H) =1/2 .

 

Método 2.  Soluciones similares de Anghibech, Chandrashekara y LoPresti.

            Esta solución se basa en el hecho casi obvio de que el jugador 1 obtiene o más caras o más cruces que el jugador 2: los dos eventos son complementarios (sugerencia: si usted encuentra este hecho no tan obvio, substituya por una versión modificada del problema en que el jugador 1 lanza dos veces y el jugador 2 solamente una; puede entonces listar las 8 distribuciones posibles. Verá entonces claramente que el jugador 1 obtiene más caras en 4 de las distribuciones, mientras que en 3 de los 4 casos en que obtiene más cruces, ambos tienen el mismo número de caras.  La observación clave el que el número de lanzamientos de los dos jugadores difiere en uno).  He aquí un argumento para justificar nuestra afirmación: sean Hi y Ti, i = 1, 2, el número de caras y cruces para el jugador i.  Como H1 = 1001 – T1 y H2 = 1000– T2, H1 > H2 implicaría T1 ≤ T2 mientras que T1 > T2 implicaría H1 ≤ H2.  Entonces, si el jugador 1 no obtiene más caras que el jugador 2, entonces obtiene más cruces; similarmente, si no obtiene más cruces, entonces obtiene más caras.  Como cada una de las situaciones “más caras” y “más cruces” son igualmente probables (obtenemos una correspondencia 1-1 intercambiando los roles de caras y cruces) y no hay otra situación possible, la probabilidad de que el jugador 1 obtengas más caras es ½.

Método 3. Generalización por Juan Mir Pieras.

            Sin conocimiento nuestro, un problema similar pero más general apareció el año pasado en la Gaceta de la Real Sociedad Matemática Española.  La solución de Mir presentada allí generalizaba el problema presentado: si el jugador I tira ni monedas y obtiene Hi caras, entonces  H1 – H2 + n2 sigue una distribución binomial con parámetros n1 + n2 y ½.  Esto significa que la probabilidad de que el jugador 1 obtenga k caras más que el jugador 2 es

,  – n2 ≤ kn1.

Notemos que la distribución de H1 – H2 +  es simétrica alrededor de 0. Entonces, en nuestro problema, n1 =1001, n2 =1000, y

P(H1 – H2 ≥ 1) = P(H1 – H2 ≤ 0) = ½.

He aquí la solución de Mir:

Dos jugadores lanzan una moneda n  y n+1  veces respectivamente.

¿Cuál es la probabilidad de que el segundo obtenga más caras que el primero?

Supondremos un caso más general que el del enunciado, en el que un jugador A efectúa LA  lanzamientos, y un jugador B efectúa LB  lanzamientos. Intentaremos caracterizar probabilísticamente cuántas caras consigue A más que B.

Solución 1.

El número de caras que se obtienen tras varios lanzamientos sigue una distribución binomial caracterizada por el número de lanzamientos y por la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento, p = 1/2 (a priori, cara y cruz son igual de probables).

Ahora podemos determinar la probabilidad de cada valor posible de CA- CB:

Para simplificar la expresión anterior, usaremos dos propiedades de los números combinatorios:

P1:

P2:

A partir de las propiedades anteriores, fácilmente llegamos a

Vemos que se cumple que CA- CB sigue una distribución binomial desplazada

,  o igualmente

Se cumple que la distribución anterior es simétrica respecto de .

Para el caso particular del enunciado, LA = n+1  y LB = n, la distribución es simétrica respecto de k = 1/2, y por tanto:

,

y por tanto, ¡ independientemente del valor de n!

De la misma manera, habríamos podido determinar la probabilidad de cada valor posible de CA+ CB:

 

Este último resultado es evidente. Es equivalente a que un solo jugador efectúe todos los lanzamientos (LA + LB) y se cuente el total de caras.

Nota final:

La propiedad P2 de los números combinatorios puede extraerse por ejemplo de

Solución 2.

El número de caras C (o cruces X) que se obtienen tras varios lanzamientos sigue una distribución binomial caracterizada por el número de lanzamientos y por la probabilidad de obtener cara (o cruz) en cada lanzamiento, p = 1/2.

Es evidente que si lanzan la moneda dos jugadores y se cuenta el total de caras,

pues a priori lo único que importa es el total de lanzamientos que se efectúan.

Por simetría entre caras y cruces,

,

y ya que

,

podemos extraer que CA - CB  sigue una distribución binomial desplazada

Y desde aquí llegamos a la misma conclusión que con la solución 1.