Nuestro primer problema en esta nueva temporada trata con enteros. Como ejercicio luego de las largas vacaciones veraniegas, puedes intentar probar que para cualquier número impar n, 4ⁿ + 1 es múltiplo de 5. Para el problema de Septiembre debes

Probar que si el número n es impar y mayor que 3, entonces no puede ser primo.

Recibimos soluciones este mes de

Prueba de que 4n+1 es divisible por 5 cuando n es impar

Una forma simple de probarlo consiste en mostrar que el n?mero es
congruente con 0 mooodulo 5:

Cuando n es impar,

Otra manera de verlo es notar que las potencias impares de 4 siempre terminan en 4 (4¹ = 4, 4³ = 64, 4⁵ = 1024, etc.). Se sigue que 4^2k+1+1 termina en 5, y es por tanto divisible por 5.

Una tercera forma es la usada por Mir y Hecquet, basada en la suma geomeeetrica para r = -4:
S = 1 + (-4) + (-4)² +...+ (-4)^2k= ; por tanto 4^2k+1+1=5S, de manera que 5 divide a 4^2k+1+1.

Prueba de que para n impar y mayor que 3, (4ⁿ+1)/5 no puede ser un n?mero primo.

Todas las soluciones se basaron en factorizar 4a⁴+b⁴. La factorizaciooon de polinomios de cuarto grado en general (y entonces de eeeste en particular) fue discutida en la soluciooon del problema MP41 en Abril de 2004. En efecto,

Para aplicar esta factorizaciooon a 4ⁿ+1, notemos que podemos poner n=2k+1, de manera que
4^2k+1 + 1 = 4·4^2k+1 = 4·(2^k)⁴ + 1 = (2·2^2k + 1 + 2·2^k)·(2·2^2k + 1-2·2^k).

Se tiene (2·2^2k + 1 + 2·2^k) > (2·2^{2k} + 1-2·2^k), y para k > 1 ,