|
Solución del problema de enero, 2007
| El problema: |
 |
El número 5·734 tiene muchos dígitos en su representación decimal. Sin evaluar, probar que un dígito ocurre al menos cuatro veces en el número.
|
Respuestas correctas: |
|
Recibimos respuestas correctas de
Gérard Billion (Francia) |
Farid Lian (Columbia) |
Dan Dima (Rumania) |
Marc Lichtenberg (Francia) |
Lou Cairoli (USA) |
Matthew Lim (USA) |
Philippe Fondanaiche (Francia) |
Jean-Luc Luyet (Suiza) |
H.N. Gupta (Regina) |
Mark Pilloff (USA) |
Xavier Hecquet (Francia) |
Heri Setiyawan (Indonesia) |
Wolfgang Kais (Alemania) |
Jayavel Sounderpandian (internet) |
Steve La Rocque (Regina) |
William Volterman (Ontario) |
|
La solución:
Nuestro problema es una adaptación de un problema para pupilos avanzados de 10 y 11 años en Checoslovaquia.
Casi todas las soluciones determinaron la cantidad de dígitos de 5·734 utilizando algoritmos de base 10:
La calculadora nos dice que log10(5·734) = 29.43... , de manera que la representación decimal del número tiene exactamente 30 dígitos. Si ninguno de los dígitos apareciera 4 veces o más, tendríamos cada dígito exactamente 3 veces. La suma de los dígitos sería entonces múltiplo de 3, lo que haría al número mismo múltiplo de 3. Como los únicos divisores primos de 5·734 son 5 y 7, concluimos que 3 no divide al número, contradicción que prueba que algún dígito aparece al menos 4 veces.
Unos pocos nos enviaron la representación concreta del número:
5·734 = 270584780189760558344798304245,
donde vemos que algunos dígitos (4 y 8) aparecen cinco veces.
Tres personas — Dima, Hecquet y Gupta — encararon el desafío de no utilizar la calculadora. Aunque Dima mostró con cálculos manuales sencillos que el número tiene exactamente 30 dígitos, todo lo que se necesita es mostrar que tienen al menos 30 dígitos (si hay 31 o más, entonces necesariamente alguno se repite 4 veces). Mostramos la solución de Gupta porque muestra un poco más, explícitamente
1010n — 1 < 5·712n – 2. (*)
Para probar esta desigualdad, notemos que
10–1 < 5·7–2 y 105 < 76.
[La primera desigualdad es 50 > 49; Hecquet mostró la Segunda diciendo que 76 = 73 · 73 = 343·343 > 300·(333.333...) = 105.] Elevemos la desigualdad del lado derecho a la 2n para obtener 1010n < 712n , y entonces multipliquemos por la desigualdad de la izquierdo para obtener (*). Poniendo n = 3 en (*) tenemos 1029 < 5·734, lo que justifica que el número tiene al menos 30 dígitos. Más en general, (*) muestra que
- para n = 1, 109 < 5·710, de manera que al menos un dígito de 5·710 ocurre más de n = 1 veces,
- para n = 2, 1019 < 5·722, de manera que al menos un dígito de 5·722 ocurre más de n = 2 veces,
y así siguiendo hasta n = 7, a partir de donde nuestra estimación no es lo suficientemente precisa para producir un resultado no trivial.
Para terminar, notemos que como k(0 + 1 + ... + 9) es divisible por 9, junto con el hecho de que 29 < log(k·734) < 30 para 2 ≤ k ≤ 8 (o sea que k·734 tienen exactamente 30 dígitos), el 5 en el problema original puede ser remplazado por cualquier entero de 2 a 8.
| 
