(1)

Sea  d_n = a_n – (2009 – n).  Si mostramos que d_n < 1 para n ≤ 1005, habremos probado que 2009 – n es el mayo entero menor o igual que a_n, como se busca.  De la tercera ecuación en (1),

        (2)

Como la sucesión {a_k} es decreciente, 1/(a_k + 1) < 1/(a_n–1 + 1) para
k < n – 1. Por (1), que nos dice que a₁₀₀₄ > 2009 – 1004 = 1005, vemos que para 0 ≤ n ≤ 1005,

,

que completa el argumento.

Comentarios.  Aún para valores de n mucho mayors que 1005 se ve que 2009 – n es el mayor entero menor o igual a a_n (en símbolos, . Varias respuestas investigaron qué tan lejos se sigue manteniendo esta igualdad. Para obtener la respuesta, hay que mirar con más precisión a los valores de la diferencia d_n = a_n - (2009 - n), que por (2) es

Como an es positivo y decreciente a cero, la serie de la derecha crece arbitrariamente; luego existe un entero N tal que d_N < 1 mientras que d_N+1 > 1.  Con la computadora se puede confirmar que N = 1271; es decir,

,

Lim, Kouba, Nadault, Stadler, Fondanaiche y Robinson mostraron que sabiendo un poco de cálculo es fácil determinar – sin computadora – que N es 1270 ó 1271.  Este es el argumento de Lim (con contribuciones de los demás).
Cota superior para N.  (Usamos la definición de N: si k ≤ N, a_k – (2009 – k) < 1; es decir, a_k < 2010 – k).)

de manera que , y entonces

Cota inferior para N.   (Aquí usamos que si k ≤ N, 1 + (a_k – (2009 – k)) > 1; es decir, 1 + a_k > 2010 – k.)

,

de manera que , y entonces

Para eliminar 1270 como valor posible de N necesitamos una mejor cota inferior. No es mucho más difícil, pero solamente Nadault perseveró. Para aquellos que deseen verlo, hemos publicado su hermoso argumento en nuestra página en francés.