Solución del problema de Septiembre, 2008

El problema:

PM79: Septiembre 2008 En la película Gunsmoke: The Last Apache (1990), el tradicional duelo se vio cambiado de la siguiente manera. Seis vasos de whisky puestos en la barra, de los cuales uno contiene una dosis letal de estricnina. Los duelistas toman turnos vaciando los vasos, con el "bueno" tomando el primer turno. El "bueno" sobrevive, y se ríe triunfante: "¡Ja! Deberías haber tomado el primer turno. El que empieza tiene ventaja". ¿La pregunta: qué opina usted sobre las aptitudes matemáticas del guionista? Más generalmente, en un duelo con n vasos, con exactamente uno conteniendo veneno, ambos participantes toman turnos vaciando los vasos, uno a la vez, hasta que uno muere. ¿Cuál es la probabilidad de que el que bebe primero sea el que muere?

Respuestas correctas:
	Recibimos soluciones correctas de Felix Arnaiz Lanzo (España) Matthew Lim (USA) Bojan Basic (Serbia) John T. Robinson (USA) Luigi Bernardini (Italia) K. Sengupta (India) Lou Cairoli (USA) Albert Stadler (Suiza) Wolfgang Kais (Alemania) Graham Ziegler (Regina) Farid Lian Martínez (Colombia)

La solución:

Todos coinciden en que el guionista está equivocado. Es un juego “justo”; la probabilidad de morir en el duelo es de 50% para ambos participantes.  Para ver esto, pensemos en el duelo como un juego en el que cada jugador elige tres de los seis vasos; el veneno está ubicado arbitrariamente en uno de los seis vasos, de manera que cada jugador tiene tres chances sobre 6 de tomar la estricnina. Un manera alternativa de ver el problema está dada por un árbol de probabilidad:

El diagrama indica que

= P(muere al 1^er trago) + P(muere al 2^do) + P(muere al 3^ro)

                         =.

            Casi todos notaron que el problema es igual de fácil si el duelo se realiza con n vasos, uno de los cuales contiene estricnina. Cuando n es par, cada participante elige exactamente la mitad de los vasos, y entonces la probabilidad de beber el veneno es de nuevo ½ para cada uno. Cuando n  es impar, en cambio, el que bebe primero tiene que elegir entre vasos, y la probabilidad de morir en el duelo es (n+1)/2 de n posibilidades, de manera que Probabilidad = , que es siempre mayor que ½.  Kais nos advierte que el caso n =1 realmente no conviene ser el primero.  En resumen, nunca  hay ventaja en beber primero en un duelo de este tipo. Parece que el guionista ahora escribe discursos para los candidatos en el elección en Canadá.

         La solución del problema general es sorprendente en el siguiente sentido. Si antes de que comience el duelo se quita uno de los vasos sin veneno, la probabilidad de que la persona que bebe primero muera al primer vaso salta de 1/6 (~0,167) a 1/5 (=0,2), y su probabilidad de morir en el duelo se incrementa, como uno esperaría, de 1/2=0,5 a
6/10=0,6. Entonces, qué pasa si se quita un segundo vaso? La probabilidad de que la persona que bebe primero muera en el primer vaso salta a 1/4=0,25, pero su probabilidad de morir en el duelo baja a 0,5.

         Ninguno de nuestros colaboradores se preguntó qué pasaría si hay n  vasos, con r  de ellos conteniendo veneno. La formula para la probabilidad de que el que beba primero tome el veneno no es tan fácil de escribir. Se puede encontrar la respuesta en el artículo "Whisky, Marbles, and Potholes", de J. Chris Fisher y Denis Hanson, Mathematics Magazine, 68:1 (February, 1995), pp. 50-54.