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Solución del problema de Diciembre, 2012
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Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $n+184$ y $n-285$ son ambos cubos de enteros.
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Respuestas correctas: |
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Recibimos soluciones correctas de
Bahman Ahmadi (Regina) |
Lamis Alsheikh (Syria) |
Diana Andrei (Suecia) |
Arkady Arkhangorodsky (Ontario) |
Claudio Baiocchi (Italy) |
Lou Cairoli (USA) |
Bernard Carpentier (Francia) |
Ruben Victor Cohen (Argentina) |
Bernard Collignon (Francia) |
Hubert Desprez (Francia) |
Mei-Hui Fang (Austria) |
Federico Foieri (Argentina) |
| Philippe Fondanaiche (Francia) |
Georges Ghosn (Montréal) |
| Kerim Gokarslan (Turkey) |
Tony Harrison (England) |
| Seongwoo Hong (USA) |
Codreanu Ioan (Romania) |
| Alex Jeon (USA) |
Kipp Johnson (USA) |
| Normand LaLiberté (Ontario) |
Matthew Lim (USA) |
| Patrick J. LoPresti (USA) |
Sanjeev Nimishakavi and & Milan Pavić (Serbia) |
| Nawal Kishor Mishra (India) |
Mathias Schenker (Suiza) |
| Armend Sh. Shabani (Kosovo) |
Albert Stadler (Suiza) |
| Andreas Stahl (Germany) |
Hakan Summakoğlu (Turkey) |
| Bruno Tisserand (Francia) |
Daniel Văcaru (Romania) |
| Arthur Vause (England) |
Paul Voyer (Francia) |
| Wu ChengYuan (Singapore) |
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Tambén recibimos una solución incompleta.
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La solución:
Solución de la parte (a).
Presentamos aquí un compuesto de las mejores ideas de las soluciones recibidas. Sea $$a^3 = n+184 \quad \mbox{ , } \quad b^3 = n-285 .$$
Entonces $a^3-b^3 = (n+184) - (n-285) = 469$. Factorizando ambos lados de la igualdad tenemos
$$(a-b)(a^2+ab+b^2) = 7 \cdot 67.$$
Como $a^2+ab+b^2 \ge 0$ para números reales arbitrarios $a,b$, se sigue que $a-b > 0$. Además, como $a$ y $b$ son enteros, $a^2+ab+b^2 > (a-b)^2 > a-b > 0$, de manera que los únicos valores posibles para $a-b$ son los factores 1 y 7 (de manera que $a^2+ab+b^2$ toma los valores $\frac{469}1=469$ y $\frac{469}7= 67$ respectivamente). Para encontrar $a$ y $b$ en cada uno de estos casos, notemos que $a^2+ab+b^2 - (a-b)^2 = 3ab$. Para $a-b = 7$ tenemos
$$a^2+ab+b^2 =67, \quad 3ab = 67-7^2 = 18, $$ $$(a+b)^2 = a^2+ab+b^2 + ab = 67+\frac{18}{3} = 73.$$
Pero 73 no es un cuadrado perfecto, lo que implica que $a-b \ne 7$.
Para $a-b=1$ tenemos
$$a^2+ab+b^2 =469, \quad 3ab = 468, \quad (a+b)^2 = a^2+ab+b^2 + ab = 469+\frac{468}{3} = 625.$$
Entonces $a+b = \pm25$, y
$$25+1 = (a+b)+(a-b) =2a, \; \mbox{ implicando } \; a=13, \; b=12,$$
ó
$$-25+1 = (a+b)-(a-b) =2a, \; \mbox{ implicando } \; a=-12, \; b=-13.$$
En el primer caso, $n = a^3-184 =2197-184 = 2013 \;(= 12^3 + 285)$; en el segundo caso, $n = a^3-184 =-1728-184 = -1912 \; (= -13^2 + 285)$. Deducimos que el único valor posible de $n$ es 2013, como decíamos.
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Comentarios. El problema de diciembre fue sugerido por la competencia Correspondence Mathematical Competition in Slovakia 2006/7, primera rueda, primer set, problema 6 (cfr. Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem, 37:8 (December 2011) pp 507-508. Kipp Johnson notó que si asignamos el valor $9x+50$ a la letra del alfabeto en la posición $x$ (es decir, $a$ en la posición 1 es asignada 59, $b$ recibe 68, y así sucesivamente), la suma de los valores de todas las letras en la frase Happy New Year (Feliz Año Nuevo en inglés) es 2013. Debemos admitir que no notamos esta obvia conexión con nuestro problema. Aún así, deseamos a todos un próspero 2013, y que todos sus problemas tengan una solución sencilla.
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