Solución del problema de Octubre, 2012

El problema:
	Decimos que una función de variable real $f(x)$ estrictamente decreciente si $a<b$ implica $f(a)>f(b)$. ¿Existe una función $f$, estrictamente decreciente, tal que $f\left(f(x)\right) = x+1$ para todo $x\in \mathbb{R}$? ¿Existe una función $g$, estrictamente decreciente, tal que $g\left(g(x)\right) = 2x+1$ para todo $x\in \mathbb{R}$?

Respuestas correctas:

Recibimos soluciones correctas de Lamis Alsheikh (Siria) Diana Andrei (Suecia) Daniel Lopez Aguayo (Mexico) Luigi Bernardini (Italia) Aleksandar Blazhevski (Macedonia) Bernard Collignon (Francia) Olivier Cyr (Francia) Mei-Hui Fang (Austria) Federico Foieri (Argentina) Philippe Fondanaiche (Francia) Jan Fricke (Alemania) Gruian Cornel (Romania) Tony Harrison (England) Benoît Humbert (Francia) Alex Jeon Kipp Johnson (USA) Matthew Lim (USA) Shpetim Rexhepi (Macedonia) Albert Stadler (Suiza) Hakan Summakoğlu (Turkey) Arthur Vause (Reino Unido) Ruben Victor Cohen (Argentina) David K.M. Yang (USA) Patrick J. LoPresti (USA)

La solución:

a. No, ninguna $f$ tal que $f\left(f(x)\right) = x+1$ para todo $x\in \mathbf{ R}$ puede ser estrictamente decreciente. Podemos lograr un contraejemplo con cualquier número real. Por ejemplo, probemos con $x=0$. Como $f(f(f(0))) = f(0) + 1$ y $f(f(0))=0+1=1$, tenemos
$$f(1) = f(f(0)) = f(0) + 1;$$
es decir, $f(1) > f(0)$, de manera que $f$ no puede ser decreciente.

Un argumento alternativo fue utlizado por varios lectores con algún conocimiento básico de análisis. Como $f(f(x)$ manda $x$ en $x+1$, es biyectiva. Esto implica que $f(x)$ también debe ser biyectiva. Una función decreciente y biyectiva de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$ es continua, y tiene necesariamente un punto fijo (el punto donde su gráfico cruza el gráfico de la recta $y=x$), que también va a ser un punto fijo de $f(f(x)) = x + 1$. Pero esta función no tiene ningún punto fijo (ya que $x=x+1$ no tiene solución), contradicción.

b. SÌ, existe una función estrictamente decreciente $g$ tal que $g\left(g(x)\right) = 2x+1$
para todo $x\in \mathbf{ R}$. Una tal función es
$$g(x) = -\sqrt 2 x - (1+\sqrt 2).$$
Notemos que $g(x)$ es decreciente, ya que es la ecuación de una recta con pendiente negativa.
Además,
$$g(g(x)) = -\sqrt 2(-\sqrt 2x -1-\sqrt 2) - (1 + \sqrt 2) = 2x +1,$$
como se quiere. De hecho se puede ver fácilmente que es la única función lineal que
cumple lo pedido: una función lineal decreciente es $g(x) = ax+b$ con $a$ y $b$ tales que $a<0$.
$$g\left(g(x)\right) = g(ax+b) = a(ax+b) + b = a^2x + (ab+b).$$
Como esto es $2x+1$ solamente si $a^2=2$, deducimos que $a=-\sqrt 2$, y $ab+b = -\sqrt 2 b + b = 1$, de manera que $b = \frac1{-\sqrt 2 + 1} = -(\sqrt 2 + 1)$, como se buscaba.

Comentarios. El lector debe explorar por sÌ mismo el por qué de que los cálculos que hemos hecho fallan para $f(x) = ax+b$ cuando $f\left(f(x)\right) = x+1$. En cuanto a la unicidad en la parte (b), solamente Humbert observó que (b) tiene infinitas soluciones. Para todo $a \ne \frac12$,

$$g(x) = \left\{\begin{array}{cc}-2^a(x+1)-1 & \mbox{ if } \; x \le -1 \\
-2^{1-a}(x+1)-1 & \mbox{ if } \; x \ge -1 \end{array}\right.$$

sirve como ejemplo no lineal.