Consideraremos a partir de ahora sólo puntos en un plano.

Definimos una suma entre puntos y un producto entre puntos y números reales, de manera que podamos utilizar la siguiente expresión para el punto medio M entre dos puntos A y B:

Se llama polígono a cualquier conjunto de puntos de la forma

( indica el segmento con extremos en p₁ y p₂; a cada uno de estos segmentos se les llama lado)

donde {p₁, p₂, p₃, ..., p_n} es un conjunto de n (al menos 3) puntos todos diferentes, a los que se llama vértices.

A todo segmento que no es un lado y tiene por extremos a dos vértices se le llama diagonal.

Si n está determinado, entonces se le llama n-gono.

a) Según la definición, cada conjunto ordenado de n (al menos 3) puntos-vértices (p₁, p₂, p₃, ..., p_n) define a un n-gono.

Hay 2n conjuntos ordenados de n puntos-vértices que definen al mismo n-gono, mediante:

• rotaciones

• inversiones de sentido:

Por ello, para cada conjunto desordenado de n puntos-vértices (p₁, p₂, p₃, ..., p_n), hay n-gonos posibles.

b) Si se da un conjunto ordenado de n puntos (p₁, p₂, p₃, ..., p_n) de los que se sabe que son los puntos medios de los lados de un n-gono desconocido (P₁, P₂, P₃, ..., P_n) de manera que

,

entonces hay solución única para (P₁, P₂, P₃, ..., P_n) si y sólo si n es impar.

Demostración:

Si desarrollamos el determinante de la matriz por la fila inferior, obtenemos:

El sistema sólo tiene solución única si el determinante anterior es diferente de 0, es decir si n es impar.

En ese caso, el sistema es fácil de resolver:

c) Intentemos buscar otra manera de abordar el problema y que permita obtener una fácil construcción con regla y compás. Tendremos en cuenta que:

• Dados un punto A y otro B, podemos encontrar con regla y compás el punto medio M entre A y B. Basta trazar dos círculos, cada uno con centro en uno de los puntos y que pase por el otro, y después trazar con el regla la recta que pasa por las dos intersecciones entre los círculos. La intersección de esta recta con la que une a A y B es M.
• Dados un punto A y otro M, podemos encontrar con regla y compás otro punto B tal que M es el punto medio entre A y B, y al que se llama simétrico de A respecto a M. Basta trazar con el regla la recta que pasa por A y M, y entonces trazar con el compás el círculo con centro en M y que pasa por A. Las intersecciones entre la recta y el círculo son A y B.

Las relaciones que se cumplen son:

Cogemos un punto cualquiera q₁, llamamos q₂ al simétrico de q₁ respecto a p₁, q₃ al simétrico de q₂ respecto a p₂ , ..., y q_n+1 al simétrico de q_n respecto a p_n. Entonces,

Si un polígono (P₁, P₂, P₃, ..., P_n) es solución entonces P_n+1 = P₁.

Si n es impar, entonces 2P₁ = = q_n+1 + q₁, y por tanto podemos encontrar con regla y compás a P₁ como el punto medio entre q_n+1 y q₁.

Si n es par, entonces 0·P₁ = , lo cual es o bien cierto, o bien falso para todo P₁. Si sabemos a priori que existe solución, entonces hay infinitas soluciones para (P₁, P₂, P₃, ..., P_n), donde P₁ puede ser cualquier punto del plano.

d) Si se cumple

,

entonces se puede ver que las 2n ordenaciones de {p₁, p₂, p₃, ..., p_n} que definen al mismo polígono (p₁, p₂, p₃, ..., p_n), tienen como solución (si n es impar) al mismo polígono (P₁, P₂, P₃, ..., P_n).

Por ello, de forma general, se cumple que:

Si se da un conjunto desordenado de n puntos {p₁, p₂, p₃, ..., p_n} de los que se sabe que son los puntos medios de los lados de un n-gono desconocido (P₁, P₂, P₃, ..., P_n), entonces sólo se puede asegurar que existe solución única para (P₁, P₂, P₃, ..., P_n) si n=3, ya que si n es impar hay soluciones , y si es par ningún sistema es de solución única.

e) Un polígono es convexo si y sólo si: a) la única intersección para cada par de lados es el vértice común (en ese caso se llama polígono no cruzado), y b) todos los ángulos interiores son menores que un ángulo llano.

Se cumple que todas las diagonales de un polígono convexo quedan en su interior (si una quedara en el exterior, algún ángulo interior sería mayor que un ángulo llano), así que dejan vértices a ambos lados, y por ello toda diagonal es cruzada por otra diagonal.

Dados los n vértices de un n-gono convexo, los segmentos que unen a cada par de vértices pueden clasificados fácilmente en lados o diagonales según si son cruzados o no por otros. Por consiguiente, para definir a un n-gono convexo basta dar al conjunto de sus vértices, y no hace falta ninguna ordenación.

Además, cualquier segmento que une dos puntos no alineados de un polígono convexo, divide a dicho polígono en otros dos polígonos convexos (se ve fácilmente que los cuatro nuevos ángulos interiores serán menores que un ángulo llano si el polígono inicial es convexo). Por ello, aplicando varias veces el paso anterior, si tomamos sucesivamente los puntos medios de los n lados de un n-gono convexo y los vamos uniendo con segmentos, obtenemos otro n-gono convexo.

A partir de todas las conclusiones anteriores, podemos decir que:

Si se da un conjunto desordenado de n puntos {q₁, q₂, q₃, ..., q_n} de los que se sabe que son los puntos medios de los lados de un n-gono convexo desconocido (P₁, P₂, P₃, ..., P_n), entonces: a) puede formarse, con el método descrito anteriormente, un n-gono convexo (p₁, p₂, p₃, ..., p_n} con {p₁, p₂, p₃, ..., p_n}={q₁, q₂, q₃, ..., q_n}, y b) a partir de ese n-gono convexo (a partir de los otros n-gonos nunca podría obtenerse un n-gono convexo), existe solución única y convexa para

si y sólo si n es impar.