Solución al problema de enero, 2001

Solución al problema de enero, 2002

Para cada número r, sea T_r la transformación del plano que manda el punto (x,y) al punto (10^r x, y + r). Encuentre la ecuación de la curva continua y = f(x) que contiene la imagen de el punto (2002,2002) para cada transformación T_r.

Solución

Recibimos soluciones correctas (en orden alfabético) de Normand Laliberté (Ontario), Juan Mir Pieras (España), Alexander Potapenko (Rusia), Eulogio Ruiz (España), y Alex Wright (el internet). Ya que todas las soluciones son esencialmente las mismas, presentaremos una combinación de ellas. La diferencia principal entre todas ellas es la notación: aquí estableceremos que log x es la base logarítmica 10. Esto significa que log (10^r) = r.

Se nos ha dicho que T_r lleva (2002,2002) a (10^r(2002),2002 + r). Esto es, para cada r

x = 10^r(2002)

y = 2002 + r Tomando el logaritmo a ambos lados de la primera ecuación obtenemos log x = r + log 2002. Para eliminar el par㍊etro r, substituya r = log x - log 2002 en la ecuación de la y para obtener y = f(x) = log x + 2002 - log 2002. Si usted lo prefiere, ya que log 2002

3.3, f(x)

log x + 1998.7

Alternativamente, en términos del logaritmo natural la respuesta sería

Comentario. El problema del mes ilustra una propiedad importante de la función logarítmica. Cu㌻do el par㍊etro r es 1, nuestra transformación T lleva el punto (x,y) a (10x,y + 1), y lleva ése punto a (102x,y + 2), y este punto a (103x,y + 3), y así sucesivamente. Como la coordenada x aumenta geométricamente, la coordenada y aumenta aritméticamente. Como nuestro problema lo ilustra, esta acción desliza el punto a lo largo de la curva logarítmica y = log x + c (ara alguna constante c).