Solución del problema de mao, 2002

La referencia del problema de este mes es de la quinta Competencia por Equipos organizada por la Sección Central de la Asociación de Matemáticas de América. Se llevó a cabo el 10 de noviembre de 2001.

Definimos la parte fraccional de r como F(r) = r -(el entero máximo que divide exactamente a r) algunos ejemplos: F(12.34) = .34, F( 11/2) = 1/2, F( 8/3) = 2/3. Problema para mayo: encuentre un número positivo r tal que F(r) + F( 1/r) = 1

Fueron enviadas cinco soluciones correctas. Estas son

John Campbell (Edmonton, Alberta)
Normand Laliberté (Kitchener, Ontario)
Juan Mir Pieras (Spain)
Alexander Potapenko (Russia)

Comentarios sobre la sección dorada

Aunque todos los corresponsales enviaron una solución que resuelve la pregunta general (la cual es ciertamente mas interesante y mas retadora), el problema original requer’a de solo un ejemplo de un número r para el cual F(r) + F(1-r) = 1. Cualquier persona que sepa de la sección dorada hubiera sido capáz de encontrar una solución inmediatamente, después de algunas operaciones triviales. La sección dorada, usualmente denotada por la letra griega , es generalmente definida como la solución de x 2 = x + 1, esto es

Esta ecuación, nos dice como calcular todas las potencias de nada mas sumando! Por ejemplo . Aún mas relevante, divida ambos lados de la ecuación por para obtener y una vez mas para obtener Entonces y dan una solución al problema original: Simplemente compruebe que mientras que . En efecto, es el caso n = 3 en nuestra solución aqu’ tratada.