Los dados de Efron se encuentran frente a usted.

El juego se juega con dos jugadores. El primero escoge uno de los cuatro dados, y el oponente escoge otro de los tres que quedan. El jugador que tira el dado con el numero mayor gana el juego. Su oponente gentilmente le invita a escoger primero un dado. Qué debe usted hacer?

Solución.

Usted debe declinar la invitación de escoger primero, ya que por cada dado que el primer jugador escoge, el segundo jugador puede escoger un dado el cual le da dos oportunidades de tres de ganar.

Recibimos soluciones de

Xing Chiu es estudiante de sexto grado, y usó el sentido común para ver que cada dado tiene por lo menos un punto débil contra uno de los dados restantes: Contra el dado A, el dado D tiene una posibilidad del 50% de ganar automáticamente al tirar un 5, y aún puede ganar al dar un 1 contra un 0, el cual dá al dado D una probabilidad de más del 50% de ganar. Similarmente, contra el dado D, el dado C tiene una probabilidad del 50% de ganar automáticamente porque el dado D dá un 1, y aún asi gana al dar un 6 contra un 5, el cual dá al dado C una probabilidad de mas del 50% de ganar. Obviamente, el dado C, teniendo una majoría de caras con 2 es el débil contra el dado B que tiene todas las caras con 3, y este último es el débil contra el dado A el cual tiene la mayoría de las caras con 4. Esto termina el ciclo: No hay una primera tirada que dé el gane.

Alexander Potapenko calculó las probabilidades exactas en cada turno mencionado arriba, y concluyó que el primer jugador pierde con probabilidad de 2/3 en cualquier caso. Por ejemplo en le primer caso, el dado D dará un 5 con probabilidad de 1/2, a la cual añadimos la probabilidad (1/2)*(1/3)= 1/6 de que el dado D dé un 1 y el dado A dé un 0. Un argumento similar es aplicable en todos los casos.

Jeffrey Hansen, Norman Laliberté, y Juan Pieras dieron una tabla con las probabilidades en cada tirada de dados.

Para algunos de los que resolvieron el problema, fué claro que era posible declinar la invitación de escoger primero. (Lea la pregunta de nuevo y vea si así lo considera usted.) En cualquier caso, debemos tomar en consideración el caso en el que el oponente también se rehúse a escoger primero, y usted termina al final perdiendo un volado sobre este asunto. Ahora, un oponente que sabe las estrategias del juego siempre escogerá un dado que tiene una probabilidad de 2/3 de ganar contra su primera selección, de manera que la única esperanza es de que el oponente no sepa el juego, y escoja un dado al azahar.

Con esta interpretación, algunos que resolvieron el problema calcularon el valor esperado de cada dado, y obtuvieron

Para resolver este asunto, suponga que modificamos los dados de Efron y añadimos 1000 al valor de cada cara que sea mayor o igual que 3. Entonces, obtenemos las siguientes configuraciones:

Como la posición del valor de las caras no ha cambiado, las probabilidades de ganar son las mismas por cada par de dados. Sin embargo ahora la posición según los valores esperados ha cambiado, con B en la primera posición, seguido de A, D y C. Por lo tanto el dado con el mayor valor esperado no es necesariamente la mejor elección en este juego. (Sería relevante solamente si el jugador gana una cantidad de dinero igual al número que muestra el dado.)

Contra un jugador que escoge al azahar, es la probabilidad promedio de ganar la que determina cual dado es la mejor primera elección. El dado C gana 56/108 veces contra un oponente arbitrario, lo cual es justamente un poco mas del 50% asumiendo que el oponente es tan bueno como usted. Si usted es fozado a escoger primero, la mejor opción es, como lo pone Mir, escoger el dado C con la esperanza de que el oponente no sepa que lo que esta haciendo.