La lista de diez afirmaciones que se muestra abajo, están numeradas del 1 al 10, para que usted pueda determinar el número n. Desafortunadamente, sucede que algunas de estas afirmaciones son falsas.

Paso 3. S7 es verdadera y S8 es falsa.
Vemos fácilmente que exactamente una de entre las afirmaciones S7 o S8 es verdadera: si S7 y S8 son ambas verdaderas, entonces de S7 (junto con el paso 2) tenemos que n ≥ 6·7·4> 100, lo cual contradice S8. Del paso 2 sabemos que por lo menos una de ellas es verdadera, por lo tanto debemos decidir entre dos posibilidades:

Primero suponga el caso A; rápidamente vemos que esta situación no es compatible con S3. Si fuera S3 verdadera (mientras que S8 es verdadera y S7 es falsa) tendríamos

Con este arreglo no habría lugar para tres afirmaciones consecutivas falsas, lo cual contradice S3 (que hay por lo menos tres afirmaciones consecutivas falsas.)
Por otra parte, si fuera S3 falsa (mientras S8 es verdadera y S7 es falsa),

Con S3 falsa no podría haber mas que dos afirmaciones consecutivas falsas, así que S2 sería necesariamente verdadera, y (de la falsedad de S10 en el paso 1) S4 y S5 serían verdaderas así que podrían haber tres afirmaciones consecutivas verdaderas. En esta situación hipotética la suma de las afirmaciones verdadera serían 2+4+5+6+8 = 25, contradiciendo S8 (la cual dice que n = 50% de las afirmaciones que son verdaderas). Conclusión: No podemos tener el Caso A.

Por lo tanto, S7 es verdadera y S8 es falsa. Con S8 falsa, S3 se vuelve verdadera (la lista en efecto contiene tres afirmaciones consecutivas verdaderas.) Nuestro conocimiento actual es por lo tanto,

Paso 4. S5 es falsa.
Porque S6 y S7 son verdaderas (pasos 2 y 3), sabemos que n es un múltiplo de 6.7 = 42, así que n ≥ 42. S5 dice que n es la suma de los números de las afirmaciones de las afirmaciones verdaderas, pero lo más grande que esta suma pudiera ser (en este punto) es 2+3+4+5+6+7 = 27 < 42; por lo tanto, S5 es falsa. Aún mas, ya que sabemos que S10 es falsa por el paso 1, debemos tener tres afirmaciones consecutivas verdaderas así que S2 y S4 deben de ser verdaderas. Consecuentemente, sabemos que el valor verdadero de todas las diez afirmaciones es:

Paso 5. Calcular n.
Aquí está un resumen de lo que se sabe sobre n.

Para termina, usaremos ahora la negación de S9. 420 tiene 24 divisores, así que tiene 22 divisores no triviales. Esto es, n = 420k tiene por lo menos 22 divisores no triviales. La suma de los números de afirmaciones verdaderas es 2+3+4+6+7 = 22 la cual (por S9 que es falsa) no puede ser más pequeña que el número de divisores no triviales de n. Entonces, 420 logra ya el número máximo de 22 divisores. Concluimos que k = 1 y por lo tanto, n = 420.

Algunos comentarios mas.
Nos enteramos de este problema por un colega belga que archivó la referencia a este problema equivocadamente después de haberlo traducido del inglés original cuando apareció en los pasados ochentas. No tenemos manera de saber quien creó este ingenioso problema; a la mejor alguien que lea esta página puede decirnos el autor y donde fue originalmente publicado este problema.

LoPresti señaló dos asuntos. Primero él indicó que cero es también una solución –cero es ciertamente un número, y satisface todas las condiciones e implicaciones de las diez afirmaciones. (La afirmación de nuestro problema en la página en francés establece explícitamente que n debe de ser positiva, lo cual inmediatamente elimina a cero.) A pesar de que uno generalmente asume que la palabra número se refiere a un número entero positivo en cualquier contexto que involucra contar y divisibilidad, esto es matemáticas y debemos evitar ambigüedades tanto como sea práctico. Debimos haber establecido que n es un entero positivo (como era la intención.)

El otro punto señalado es mas profundo y más serio. El se pregunta si se puede asumir que las afirmaciones auto-referidas tienen un valor de verdad bien definido. Seguramente que una oración como,

no se le pude permitir –si la oración fuera verdadera entonces, por lo que dice, debe de ser falsa, mientras que si la oración fuera falsa entonces, por lo que dice, debe de ser verdadera. En contraste, una cualidad deliciosa de nuestro sistema de diez afirmaciones entrelazadas es que existe una forma de asignarles un valor de verdad a cada una de las afirmaciones. Aún más, como nuestra solución lo demuestra, esta forma de asignar un valor de verdad es la única que es consistente. Los problemas causados por las afirmaciones auto-referidas ayudaron, a comienzos del siglo, a motivar una re-reexaminación de las fundaciones de las matemáticas; hoy, un siglo después aún no hay una solución satisfactoria a estos problemas difíciles. Lo bueno es que la mayoría de las matemáticas están muy lejos de estas dificultades, y podemos felizmente hacer matemáticas, dejando a los logístas que se preocupen por las fundaciones.