Termine la siguiente frase llenando los espacios en blanco con un numeral de dos o mas dígitos.

Esta frase fué creada por Raphael Robinson, quien probó que hay exactamente dos formas correctad de llenar los espacios en blanco.

Solución de MP28

Recibimos soluciones de Neil Chatani (California), Pierre Bornsztein (Francia), Juan Mir Pieras (España), and Gordon Robinson (British Columbia). Robinson, nuestro corresponsal, aparentemente no tiene ningún parentesco con la persona que hizo MP28, excepto posiblemente en espíritu. Raphael M. Robinson (1911-1995) fue un matemático versátil que contribuyó a la gran reputación del departamento de matemáticas de Berkeley. Además de su trabajo importante en lógica, teoría de números, y otros campos, él siempre estuvo interesado en las matemáticas como recreación, haciendo y resolviendo problemas interesantes y sofisticados a todos los niveles. Gordon Robinson correctamente señaló que nuestro versión del problema de R.M. es ambiguo; hay mas de dos soluciones dependiendo en como uno interpreta la frase. Debimos haber dicho explícitamente que los números que aparecen son ellos mismos dígitos –mas sobre esto mas adelante.

Con la interpretación que nosotros intentamos, las maneras posibles de completar la frase de Robinson son

Primera: En este frase, el número de frecuencias del dígito 0 es 1, de 1 es 7, de 2 es 3, de 3 es 2, de 4 es 1, de 5 es 1, de 6 es 1, de 7 es 2, de 8 es 1, y de 9 es 1.

Segunda: En este secuencia, el número de frecuencias del dígito 0 es 1, de 1 es 11, de 2 es 2, de 3 es 1, de 4 es 1, de 5 es 1, de 6 es 1, de 7 es 1, de 8 es 1, y de 9 es 1.

La primera solución es posiblemente la más natural, donde todas las entradas son dígitos. Para ver que es la única respuesta de este tipo, posiblemente lo mejor es considerar la gráfica obtenida al poner una flecha desde la x a la y, si en la frase, el número de frecuencias de x es y.

En esta gráfica, los dígitos con flechas apuntando al 1 son precisamente aquellos con ninguna flecha apuntando hace ellos, mientras que los dígitos con flechas apuntando al 2 son precisamente aquellos con una flecha apuntando a ellos. Mas generalmente, hay una flecha x -> y si y solamente si y es uno mas el número de flechas que apuntan hacia x. También, hay un camino 1 -> x1 -> x2 ->…. empezando en el 1. Por que hay un número finito de dígitos, este camino debe al final crear un ciclo donde uno de los elementos xj apuntará a un elemento encontrado anteriormente xj. De hecho la componente conteniendo el 1 no tiene nada mas que la flecha apuntando hacia el 1 y el camino lazándose en el mismo. En efecto, empezando desde el ciclo y regresándose a lo largo de las flechas, podemos siempre alcanzar un punto final – un dígito apuntando al 1.

Ahora, considere el camino que empieza en el 0: Tenemos 0 -> 1 -> x. Ya que la x tiene una flecha apuntando a ella, x no puede ser 1; no puede ser 2, lo cual se puede ver fácilmente: por ejemplo, hay también una flecha desde el 9 hacia el 1 (porque ningún dígito puede aparecer exactamente nueve veces). Por lo tanto tenemos que x -> 2, y 2 -> y -> 2, entonces y = 3. Todos los otros elementos en esta componente tienen flechas apuntando al 1. De hecho, a esta altura podemos demostrar que no hay otras componentes: En efecto, en cualquier componente hay exactamente una flecha que sale de cada uno de los vértices, así que hay un promedio de una flecha llegando a cada vértice. Consecuentemente, debe de haber un vértice con a lo mas una flecha llegando a él, así que este vértice esta en la componente de 1 y 2. Entonces la gráfica esta conectada, y tiene los seis dígitos restantes apuntando al 1. La primera solución es deducida de la estructura de la gráfica.

Tomemos una pausa breve para considerar una versión de la frase de Robinson con números romanos:

Een esta frase el número de frecuencias de (mayúsculas) I es IX, de V es I, de X es II, de L es I, de C es I, de D es I y de M es I.

Entre otras cosas, esto demuestra que el número de maneras de terminar la frase depende del sistema de números que estemos usando. La segunda manera para terminar la frase de Robinson mucho depende del hecho de que estamos contando en base 10. Este es el argumento de Gordon Robinson.

Sea n(d) el número de frecuencias del dígito “d”. Es relativamente claro que no puede haber un n(d) „ 20, o mas de un n(d) „ 10 ya que el número total de dígitos crece mas rápidamente que el número de dígitos en la frase. Así que debe de haber a lo más un n(d) más grande que 9 pero menos que veinte. En este caso, la suma de los números en los espacios en blanco es igual a 21.

Otra vez, es claro que n(1) debe de ser el número mayor. Ahora hay un uno adicional que llega del segundo dígito de n(1). Sin embargo, para que haya tantos unos, casi todos los otros n(d) deben de ser unos. Si todos lo fueran, entonces habrían por lo menos 10 además del número de 1´s en n(1), el cual es por lo menos uno. Pero si n(1) = 11 entonces ningún otro n(d) puede ser 1, ya que ahora serian 12 1´s. Ya que la suma de los números en los espacios en blanco es igual a 21, y cada n(d) „ 1, n(d) debe de ser menor o igual que 12. Pero si n(1) = 12, no hay suficientes espacios para poner todos los 1´s requeridos (solamente quedan 9 espacios en blanco y diez 1´s son requeridos). Así que la única posibilidad es que n(1) = 11. Para remediar el problema de que pudiéramos tener demasiados 1´s, podemos fijar n(2) = 2 eliminándose un 1 y dando el 2 necesario para hacer los dos ahora requeridos. Así que la segunda solución es:

n(d) = 1 para d = 0, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

n(1) = 11

n(2) = 2.

Sin embargo, hay un asunto de interpretación como se observó arriba. De hecho, leyendo mi argumento en el párrafo anterior, debe de hacerse notar que hay un número de lugares donde los números fueron escritos en palabras. El asunto es cómo interpretamos el significado de los símbolos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 en la frase original incompleta. La solución de arriba los considera como dígitos. Sin embargo, si los consideramos como números, las soluciones son diferentes. La primera solución es aún valida porque los espacios en blanco son llenados con un número de un dígito y el conteo permanece sin cambios. Sin embrago, la segunda solución depende del conteo de los dígitos. Si contamos estos símbolos como números, aparece la siguiente solución:

N(k) = 1 para k = 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

N(1) = 10 (note que el número 10 no es parte en absoluto del conteo!)

Gordon continua dando otra interpretación. En lugar de esto, modifiquemos lo dicho en el problema para hacer explícito que cada símbolo numérico que aparece representa un dígito. Revisando el problema:

En esta frase, el número de frecuencias del dígito “0” es ____, de "1" es ____, de "2" es ____, de "3" es ____, de "4" es ____, de "5" es ____, de "6" es ____, de "7" de ____ de "8" es ____, y de "9" es ____.