Note que 3 = 1+2, 5 = 2+3, 6 = 1+2+3, 7 = 3+4, pero ni 4 ni 8 se pueden escribir como la suma de dos o más enteros positivos consecutivos. Su tarea para febrero es demostrar que este patrón se continúa eternamente.

1. Demuestre que ninguna potencia de 2 se puede escribir como la suma de dos o más enteros positivos consecutivos
   
   
2. Demuestre que ningún entero que no es una potencia de 2 puede ser escrito como la suma de enteros consecutivos.

Solución de MP30

Recibimos soluciones de Francesco Barioli (Regina), Pierre Bornsztein (Francia), Normand LaLiberté (Ontario), Juan Mir Pieras (España), Alexander Potapenko (Rusia), Jason Stein (Regina), y Philippe Thenoz. Bornsztein and Potapenko probaron un resultado mas fuerte, así que presentamos una combinación de sus trabajos. Los otros contribuyentes usaron argumentos similares que pueden ser fácilmente extendidos.

En septiembre del 2004 recibimos una solución adicional a la versión de este problema que Wai Yan Pong de la Universidad del Estado de California (Domínguez Hills) les propuso a su clase de teoría de números.

Nuestro argumento está basado en la fórmula de la suma de r enteros consecutivos,
a + (a+1) + (a+2) + ... + (a + r – 1) = .
(Se dice que Gauss, cuando niño, descubrió una forma fácil de derivar esta fórmula; si no ha visto la estrategia de Gauss, quizá le gustaría revisar nuestra página de "Quandaries and Queries" (http://mathcentral.uregina.ca/) escriba “Gauss” en el área de búsqueda (search) Esta fórmula da inmediatamente la respuesta a la parte (1): Una de las r y 2a+r–1 deben de ser pares y la otra non, mientras que ambas debed de ser mas grandes que 1; por lo tanto n debe de tener un factor non y no puede ser igual a una potencia de 2. La respuesta a la parte (2) es igualmente fácil, pero nuestro objetivo será contar el número de maneras que un número n pueda ser escrito como una suma de enteros consecutivos.

Decimos que un entero positivo n admite una descomposición de orden r, si para algún entero positivo a y r, n = r(2a + r – 1)/2; esto es, si n = a + (a+1) + (a+2) + ... + (a + r – 1), la suma de r enteros consecutivos empezando en a. Hacemos dos observaciones muy simples.

1. Como n = n, todo entero positivo admite una descomposición trivial de orden 1.
2. Para cualquier entero fijo r, la cantidad r(2a + r – 1)/2 aumenta cuando a aumenta, así que n admite a lo más una descomposición de orden r.

D_o(n) y D_e(n) denotan el número de descomposiciones de n que tienen orden non y orden par, respectivamente, y sea D(n) = D_o(n) + D_e(n).

Teorema. Para n > 0,

1. D_o(n) es igual al número de divisores nones t de n para lo cual 0 < t(t+1)/2 ≤ n.
2. D_e(n) es igual al número de divisores nones t de n para lo cual n < t(t+1)/2.
3. D(n) es igual al número de divisores nones de n.

Demostración.

1. Si n admite una descomposición de orden non r, entonces hay un único valor de a para la cual n = r(2a + r – 1)/2, lo que implica que r es un divisor non de n. Aún mas, ya que
   a ≥ 1 tenemos que 2a + r – 1 ≥ r+1, así que r(r+1)/2 ≤ n. Contrariamente, si r es un divisor non de n para el cual r(r+1)/2 ≤ n, podemos despejar a y obtenemos que a = n/r – (r – 1)/2. Uno comprueba fácilmente que a es un entero positivo el cual es el término inicial de una descomposición de n de orden r, la cual es única debido a la segunda de nuestras primeras observaciones.
2. Si n admite una descomposición de orden par r, entonces existe una a única a > 0 para la cual r(2a + r – 1)/2. Sea t = (2a + r – 1). Entonces t es un entero positivo non que divide a n. Aún mas, t(t+1) = t(2a+r) > tr = 2n, de donde vemos que t(t+1)/2 > n. Contrariamente, si t es un divisor non de n para el cual t(t+1)/2 > n, ponemos r = 2n/t y
   a = (t + 1 – r)/2, y verificamos que r es positivo y par, a > 0, y que n = r(2a + r – 1)/2; esto es, concluimos que n admite una descomposición de orden r (la cual, nuevamente, sabemos que es única).
3. Esta afirmación se sigue inmediatamente de las partes previas.
   Esto prueba el teorema. Ahora veamos un ejemplo. n = 90 = 2·32·5 tiene 6 divisores nones — t = 1, 3, 5, 9, 15, y 45 — y esperamos tener 6 descomposiciones. Calculamos D_o(n) = 4 y D_e(n) = 2.
   

   Case (1) — t(t+1)/2 < 90

   t = divisor	r = t = orden		Descomposición
   1	1	90	n = 90
   3	3	29	n = 29 + 30 + 31
   5	5	16	n = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13
   9	9	6	n = 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14

    

   Case (2) — t(t+1)/2 > 90

   t = divisor			Descomposición
   15	12	2	n = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13
   45	4	21	n = 21 + 22 + 23 + 24

1. Si n = 2k entonces D(n) = 1 y la única descomposición de n es aquella de orden 1. En particular, confirmamos una vez más que las potencias de 2 no pueden ser escritas como una suma de dos o más enteros consecutivos.

2. Si n es un primo non entonces D(n) = 2. Ya que n = 2k + 1 = k + (k+1), concluimos que números primos tienen solamente una descomposición de orden 1 y de orden 2.

3. Si n es par y no tiene una potencia de 2 entonces n = m2^k con m ≥ 3 y es non mientras que k ≥ 1. D_e (3) tenemos que D(n) ≥ 2; aún mas, ya que números pares no pueden admitir una descomposición de orden 2 (porque la suma de enteros consecutivos pares es non), n admite una descomposición de orden de por lo menos 3.

4. Si n es un numero compuesto non, entonces de (3) otra vez tenemos que D(n) ≥ 3; entonces n admite una descomposición de orden de por lo menos 3.

5. De las implicaciones (b), (c), y (d) deducimos que todo entero positivo que no es una potencia de 2 puede ser escrito como una suma de por lo menos dos enteros positivos consecutivos, lo cual finiquita la parte (2) de nuestro problema del mes.

6. De las implicaciones de (a) hasta (d) deducimos que los enteros positivos que no pueden ser escritos como una suma de por lo menos 3 enteos consecutivos son las potencias de 2 y los números primos.

Algunos comentarios mas

Dos aplicaciones adicionales de la fórmula básica para la suma de enteros consecutivos puede ser encontrada en la referencia [2]. Bornsztein mandó referencias [1] y [3]. En [3] el autor investiga a fondo propiedades de nuestro número de descomposición D(n); entre otras cosas él determina el número de descomposiciones de n en una suma de términos consecutivos de una sucesión aritmética: n = a + (a+s) + (a + 2s) + ... .