Recibimos soluciones correctas de Pierre Bornsztein (Francia) and Juan Mir Pieras (España). Esta es la solución de Mir.

Diremos que "leer" una secuencia es ir diciendo ordenadamente el tamaño de los grupos de términos seguidos iguales. Por ejemplo, la secuencia 1,2,3,3,4 se leería 1,1,2,1 puesto que hay 1 uno, 1 dos, 2 treses y 1 cuatro.

Sea L el conjunto de series que "se leen a sí mismas". Sea C el conjunto de series cuyos términos pertenecen a {1,2} y de manera que nunca hay tres términos iguales seguidos. Sea P el conjunto de series cuya representación decimal es periódica. Es decir, que S pertenece a P si existe un período p tal que S(t)=S(t+p) a partir de cierto momento t>t0.

Sea K la serie de Kolakoski, la única que pertenece a L y a C y cuyo primer término es 1.

Vamos a demostrar que una serie no puede pertenecer a la vez a L, a C y a P. Con eso habremos demostrado que la representación decimal de la serie de Kolakoski no es periódica.

Sea S una serie que pertenezca a C y a P, con un periodo mínimo p a partir de cierto t0. Sea s la secuencia ordenada de unos y doses que representa un periodo. Si s está formada por g11 unos aislados, g12 grupos de 2 unos seguidos, g21 doses aislados y g22 grupos de 2 doses seguidos (podemos parar aquí porque S pertenece a C), entonces tenemos: p = 1g11 + 2g12 + 1g21 + 2g22

Sea S' la serie que "lee" a S. Como que S pertenece a P, S' también, ya que a partir de cierto momento "leemos" periódicamente la secuencia s. Sea s' la secuencia resultado de "leer" la secuencia s. Consta de (g11 + g21) unos y (g12 + g22) doses. La longitud de s' debe ser un múltiplo exacto del periodo mínimo p'. Por tanto, p' <= np' = longitud(s') = g11 + g12 + g21 + g22 <= p

De hecho p' siempre es menor que p y por tanto S y S' serán siempre diferentes (S no pertenece a L). Para la igualdad sería necesario (pero no suficiente) que g12=g22=0. Pero si g12=g22=0, S = ...1,2,1,2,1,2,1,2,... y S' = ...1,1,1,1,1,1,1,1..., y entonces p=2 y p'=1.

La sucesión de Kolakoski apareció por primera vez como el Problema 5304 propuesto por William Kolakoski en American Mathematical Monthly 72 (1965) p. 674 and 73 (Junio 1966) pp. 681-682. Infomación sobre el problema, comentarios, y varias referencias pueden encontrarse en la p‡gina web de N.J.A. Sloane