(a) Dado un conjunto the puntos en un plano de tal manera que

1. la distancia entre cualquiera dos de ellos es un entero, y
   
2. un numero infinito de ellos yacen en una misma linea,

Recibimos soluciones de Pierre Bornsztein (Pontoise, Francia), Steve Brooke (Vancouver), Juan Mir Pieras (España), and Jacob Tsimerman (Toronto).

Denotemos con una S al conjunto dado, y llamemos l a la línea que contiene un número infinito de puntos de S. Todas las soluciones que recibimos empiezan suponiendo lo contrario a la afirmación en (a), que hay un punto P de S que no esta en l. Sea F el pie de la perpendicular de P a l. A lo largo de la línea y por lo menos a un lado de F hay un número infinito de puntos de S; denotemos estos puntos como A₁, A₂,..., en orden creciente según las distancias desde F. Porque PAi es un entero positivo para toda i, PA_i+1 >= PA_i + 1. Como consecuencia, la distancia PA_i crece sin limite cuando i tiende a infinito. Necesitamos otro resultado preliminar (debido a Bornsztein): todas las distancias FA_i deben ser racionales. Para ver esto, note que

La solución de Bornsztein de (a) se sigue inmediatamente de éstas observaciones. Nos percatamos de que PA_i - FA_i >= 1 debido a que FA_i y PA_i son ambos enteros, donde el primero es la hipotenusa y el segundo es el cateto de un triángulo rectángulo. Por lo tanto,

Nuestras observaciones preliminares también sugieren que podemos probar una generalización de un teorema familiar sobre triples Pitagóricos: Para cualquier número positivo d hay un número finito de triángulos rectángulos que tienen un cateto de longitud l, mientras que las longitudes del otro cateto y su hipotenusa son ambos enteros.

Presentamos aquí la demostración de Tsimerman y sugerida por Brooke. Sea d = PF y x = FA para alguna A en el conjunto dado S en la línea l. Queremos demostrar que podemos escoger i de tal manera que no es posible que sea un entero para cualquier i y para la cual FAi > FA. Primero, notemos que

Queremos que nuestra x sea lo suficientemente grande para que -- en esta forma PA quedaría atrapada entre enteros consecutivos de tal forma que no podría ser un entero. Elevando a la segunda potencia ambos lados de esta desigualdad, obtenemos d2 <&nnbsp;2x + 1, o x > (d² - 1)/2. Juntando todo esto, concluimos que para cualquier i para la cual FA_i > (d² - 1)/2, PA_i no podría ser un entero:

Buscamos un conjunto de 6 puntos para el cual las distancias entre pares de puntos son todas enteras, mientras que 5 de los puntos yacen en una sola línea y un punto no esta en esta línea. Bornsztein, Mir, and Tsimerman usan triángulos rectángulos con lados enteros y un cateto de longitud 12 Ð hay cuatro a escoger: (12, 5, 13), (12, 9, 15), (12, 16, 20), y (12, 35, 37). Por ejemplo, sea (0,12) las coordenadas de un punto exterior, y sean (0,0), (9, 0), (Ð9, 0), (16, 0), y (Ð16, 0) los puntos en la línea y = 0.

Mir nos mandó una forma simple de construir un conjunto S con un número k + 1 de puntos en una línea y un punto fuera de la línea, con una distancia entera entre cualquiera de los dos puntos. Su idea esta basada en el conjunto preliminar de los triples Pitagóricos (2mn, m² - n², m² + n²) --estos triples tienen la propiedad de que para cualquier entero m y n con m > n, la suma de los cuadrados de los primeros dos es el cuadrado del tercero. En otras palabras, estos triples representan los lados de un triángulo rectángulo de lados enteros. Sea N el primer miembro del triple, N = 4^k = 2.2^2k-1.2⁰ = 2.2^2k-2.2 = 2.2^2k-3.2² = ... = 2.2^k.2^k-1. Hemos factorizado N en k formas diferentes de factorizar el producto 2mn, y podemos por lo tanto crear k triples Pitagóricos diferentes. Esto nos lleva a un conjunto S con k + 2 puntos, que consiste de (0, 4^k), (0, 0), y los puntos (m² - n², 0) que corresponden al tercer vértice (4^k - 4^k-1, 0), ..., (4^2k-2 - 4⁰, 0) del triángulo rectángulo con lados enteros.

Por supuesto, hay una forma simple de enlistar y contar todos los triples Pitagóricos. Brooke dió como referencia la página informativa web Mathworld: