Encuentre aquellos números nones  n = 2k + 1, k ≥ 0, para los cuales

S = n⁴ + 4^2k+1 = n⁴ + 4(4^k)²

2. Solución de Feyrit, Kais, y LoPresti.

Observe que r² + s² = (r+s)² – 2rs, entonces con r = n² y s = 2(4^k),

S = (n² + 2(4^k))² - 4n²4^k = (n² + 2(4^k))² - n²4^k+1

Notamos que como 4^k+1 = (2^k+1)², S es una diferencia de dos cuadrados, que pueden ser factorizados como

S = ((n² + 2(4^k)) + n(2^k+1))((n² + 2(4^k)) - n(2^k+1))

Aún debemos demostrar que el factor menor excede 1 cuando k > 0.  Aquí esta un argumento sencillo para k ≥ 3:

n² + 2(4^k) - n(2^k+1) = n² + 2^k(2^k+1) - (2k+1)(2^k+1)
> 2^k(2^k+1) - (2k + 1)(2^k+1)
= (2^k - 2k - 1)(2^k+1)
> 1

así que simplemente lo corroboramos para  k = 1 y 2, el factor menor es 5 y 17.

3. Observación de LaLiberté y LoPresti.

            Ya que los valores iniciales de S son 5, 32, 145, 512, ..., uno podría especular que los valores de S para el non n son divisibles por 5.  En efecto, cuando n es non y no congruente a 0 mod 5, 4ⁿ (mod 5) = –1 y nⁿ (mod 5) = 1, entonces S = 4ⁿ + n⁴º 0 (mod 5).  Esto significa que para n > 1, n non, y n ≠ 5k, 5 es un factor propio de S.  Esto deja solo por resolver el caso n = 5k con k non. Desafortunadamente, cuando k = 1 (esto es, cuando n = 5) S = 1649 = 17·97, lo cual sugiere que es hora de buscar una nueva dirección!  Ya sea que uno tenga que empezar de nuevo (como lo hizo Lo Presti), o trate  de separar la diferencia: ^{(17 + 97)}/₂ = 57; de donde, 17 = 57 – 40 y 97 = 57 + 40.  Por supuesto, 40 = 2³·5, lo cual es una muy buena pista. Esto sugiere una forma de factorizar S:

S = n⁴ + 4ⁿ = n⁴ + 4^5k = n⁴ + 2^10k
= (n² + 2^5k + 2^(5k+1)/2 n)(n² + 2^5k - 2^(5k+1)/2 n)

lo cual reconocemos como un caso especial de nuestra primera solución dada arriba.

Pregunta: ¿Como factoriza uno un polinomio de grado cuatro?

El polinomio de grado cuatro en general es

p(x) = c₄x⁴ + c₃x³ + c₂x² + c₁x + c₀,

o en su forma homogénea (replazando x por a/b y multiplicando todo por b⁴),

q(a, b) = c₄a⁴ + c₃a³b + c₂a²b² + c₁ab³ + c₀b⁴.

Es un hecho que cualquier polinomio de grado cuatro con coeficientes reales puede ser factorizado en un producto de dos polinomios de grado dos con coeficientes reales.  La fórmula ha sido conocida desde el siglo dieciséis, y el software que hace esto por usted esta ya disponible; vea por ejemplo,

http://mathworld.wolfram.com/QuarticEquation.html

Para el factor a⁴ + 4c⁴ (= a⁴ + (√2 c)⁴) uno puede usar b = √2 c en nuestra fórmula; alternativamente, resuelva a⁴ + 4c⁴ = (a² + xac + 2c²)(a² – xac + 2c²) para x.  De cualquier manera, uno obtiene la fórmula usada en nuestra primera solución.  Bornsztein incluyó el nombre de Sophie Germain (1776 – 1831) a ésta fórmula, esto sería sorprendente de no ser por los antiguos griegos que la sabían 2000 años antes de que Germain hubiera nacido.  Otra cuadrática que se puede factorizar fácilmente es p(x) = x⁴ + x³ + x² + x + 1; como un ejercicio simple usted mismo puede intentar factorizarla.