En las tiendas uno encuentra calendarios perpetuos que consisten de pares de cubos cuyas caras muestran los números del 0 al 8. Los números están arreglados de tal manera que dos cubos pueden ponerse juntos para representar todos los 31 días del mes. Un cubo tiene los números del 0 al 5 en sus caras, mientras que las otras tienen los números 0, 1, 2, 6, 7, 8. Es obvio que los números 0, 1, y 2 deben de aparecer en

un cubo (para acomodar los días con un solo dígito, así como los días 11 y 22). ¿Pero que pasa con 9, 19, y 29? Uno necesita aquí el truco de que la cara con el número 6 sirve también como 9.

Se dice que nosotros usamos el sistema de base 10 para contar porque tenemos diez dedos. Nuestro problema para este mes es usar números en bases otras que no sean 10 para diseñar calendarios para personas con menos de diez dedos. En particular,

1. ¿puede usted poner números de base 2 en cada uno de las 12 caras disponibles en los dos cubos para producir todos los números del 1 al 31 (= 11111₂)? Si lo hace económicamente habrá caras disponibles para acomodar anuncios.
   
   
2. ¿es posible también usar la base 9?

Usted se preguntará que cual es la base numérica 2. La historia esta narrada en la página web Mathworld

http://mathworld.wolfram.com/Binary.html

En ésta página usted encontrará los números del 1 al 30 escritos en base 2.

Solución de MP37

Laliberté es claramente el ganador - necesitó solamente ocho caras, así que hay cuatro caras sobrantes para anuncios. Las personas que hacen la publicidad de Viagra ciertamente estarían muy contantas sobre el prospecto! Su plan 1 es el mismo de Kais, excepto que el no usa la cara con 000. La ventaja de usar un 000 redundante es que uno ve al instante que funciona: uno obtiene los números del 1 al 7 usando dígitos triples del dado 2 en la parte de atrás con 00 enfrente, de 8 a 15 con 01 enfrente, del 16 al 23 con 10 enfrente (lo cual es 01 pero al revés), y del 24 al 31 con 11 enfrente. Laliberté se dio cuenta que uno pude vivir sin el 000 usando (010)(00) para el 8, (100)(00) para el 16, y (110)(00) para el 24.

LoPresti decidió que ya que el símbolo para el uno es simétrico en todas sus caras, el podía arreglárselas sin usar simetría - a riesgo de molestar a los anunciantes (porque el necesita todas las 12 caras).

La solución de Nurnberger ofrece buenas simetrías, usando las cuatro caras de cada dado, pero él fue forzado a recurrir a un subterfugio interesante! El combinó los símbolos de base 2 con nuestra base del sistema decimal para escribir números como 16 como (1) seguido de (110) (lo cual es le símbolo del 6). Esto no es en realidad una representación de base 2 del 16 (la cual es 10000 en base 2), pero ya que las reglas del juego fueron un poco vagas, el ingenio de la solución sobrepasa las objeciones de los puristas.

Uno revisa fácilmente lo acertado de las otras soluciones (recordando que las caras como 01 sirven también como 10, excepto en la solución de LoPresti). Aquí están los números en base 2 del 1 al 31. Uno nada mas tiene que revisar que cada número de base 2 puede ser representado con una cara de cada dado dando la solución propuesta.

La explicación de LoPresti da una motivación muy Buena para la solución de Kais, así como su primera solución. El primero resuelve el problema para cubos de base 8 (con días numerados del 01 al 37), usando dígitos 0,1,2 y 3 en ambos cubos, 4 y 5 en el dado 1, y 6 y 7 en el dado 2. El siguiente paso es cambiar estos símbolos a sus equivalentes en base 2:

Cubo 1a: 000, 001, 010, 011, 100, 101
Cubo 2a: 000, 001, 010, 011, 110, 111

Para días de la forma 8n + 6 o 8n + 7, ponemos el dado 1 primero; para los otros días, ponemos el dado 2 primero. Para hacer espacio para los anuncios, podemos hacer uso de la simetría. Nuestra regla nos dice que las caras 000, 001, 010, y 011 en el Cubo 2ª se usan solamente cuando el Cubo 2ª es puesto primero. Entonces, en lugar de eso podemos denotarlos con 00, 01, 10, y 11, lo cual es útil porque 01 y 10 ocupan solamente una cara (por simetría).

Podemos remplazar nuestros cubos con

Cubo 1b: 000, 001, 010, 011, (100), 101, (110), 111
Cubo 2b: 00, 01, (10), 11

Los números en paréntesis ya aparecen al reverso de otro número en el mismo cubo. Esto nos deja tres caras para anuncios, todas en el Cubo 2b. Nuestra nueva regla es que Cubo 2b siempre aparece primero, lo cual es una buena propiedad. Finalmente, si los ceros líderes nos molestaran, podemos remplazar el Cubo 2b con:

Cube 2c: 0, 1, 10, 11

Este paso nos dejaría solamente dos caras para anuncios, pero es aun muy bueno.

La respuesta a la parte (b) es que no podemos usar números de base 9 para nuestro calendario perpetuo. Esto es simplemente una limitación de nuestra notación: Uno pude imaginarse que el contar en base 9 sería inventado por una raza extra-terrestre de individuos que tuvieran tres manos, cada una con tres dedos, y que sus símbolos serían diferentes de los nuestros. La imposibilidad de usar una base 9 es una consecuencia de la necesidad de usar los dígitos 1, 2 y 3 en cada dado para los días 11_9, 22_9, y 33_9 (días 10, 20, y 30). Cada dado debe también tener una cara 0 para combinarla con las fechas de un solo dígito del 1 al 8. Esto daría cuatro caras para los restantes números 4, 5, 6, 7 y 8. No hay dígitos 9 que puedan ser volteados y hacerlos un 6, así que, como nuestros amigos de la raza extra-terrestre, estamos atorados con un dedo faltante.

Nuestro problema de diciembre esta basado en una idea de Jeroen Doumen, un estudiante de la Universidad Tecnológica de Eindhoven.