Recibimos soluciones este mes de Pierre Bornsztein (Francia), Gilles Feyrit (Francia), Wolfgang Kais (Alemania), Juan Mir Pieras (España), and Patrick LoPresti (Estados Unidos).   Sus métodos son muy similares pero, como veremos, hay variaciones interesantes en los detalles.

Solución a la Parte (1) .

       Hay varias formas de dividir un cuadrado en un número par de triángulos de áreas iguales. La mayoría de los métodos que recibimos están basados en la idea de formar n triángulos que tengan bases y alturas iguales. Mir nos mandó un diagrama que muestra las tres formas de hacer esto: cortando un par de lados opuestos, o un par de lados adyacentes, o una diagonal en n/2 segmentos iguales. Su diagrama final muestra que uno puede mezclar los métodos - la mitad de los triángulos que tienen base y altura , mientras que la otra mitad tienen base 2/n y altura 1.

Solución a la   Parte (2) .

            Se nos da un cuadro y deseamos cortarlo en tres triángulos. Llamémosle a éste 3-división. Todas las solución enviadas muestran mas de lo que se requería.

Teorema. Para cualquier 3-división   de un cuadrado, el área de un triángulo será necesariamente la mitad del área del cuadrado.

Por supuesto que este teorema inmediatamente implica el resultado deseado - las áreas de los tres triángulos de cualquier 3-división nunca podrían ser iguales, en efecto, el área del triángulo grande será igual a la suma de los otros dos. Empezamos con unas observaciones preliminares que son comunes a la mayoría de las soluciones recibidas.

Observación 1 .   Los vértices de los triángulos de cualquier 3-división de un cuadrado resultan de un conjunto de cinco puntos - los vértices del cuadrado mas un punto extra P. Más aún, P debe estar exactamente en cualquier lado del cuadrado, o en un lado de uno de los triángulos.

Demostración. Los ángulos de los triángulos suman 3 ´ 180 ° .   Estos ángulos deben llenar los ángulos del cuadrado, lo que da solamente 2 ´ 180 ° .   Los restantes 180 ° requiere de un punto mas que sirva de vértice. Si este punto esta en el interior del cuadrado, los ángulos sumarían 360 ° (lo cual   sería demasiado), a menos que un punto se encuentre en un lado del triángulo sin que sea un vértice de ese triángulo.

Observación 2 . Cada triángulo de cualquier 3-división comparte por lo menos dos de los vértices con el cuadrado.

Demostración . Esto es consecuencia inmediata de la observación 1 - Un triángulo con un vértice en P debe de compartir sus otros dos vértices con el cuadrado porque no hay otros puntos disponibles.

Demostración del teorema de Bornsztein, Feyrit, and LoPrest i .

            Nuestras observaciones nos dicen que por lo menos dos triángulos tienen un vértice en el nuevo punto P; entonces, por lo menos tres vértices del cuadrado serán usados por los otros vértices de estos triángulos. Sean dos de ellos los vértices A y B del cuadrado ABCD. ¿Dónde puede estar P?

Caso (b). P puede estar en el segmento BC. Entonces el cuadrángulo APCD debe estar dividido en dos triángulos. Uno debe por lo tanto cortar a lo largo de la diagonal AC o a lo largo de la diagonal DP. Los triángulos grandes serán D ACD y D APD respectivamente.

Caso (c).   P puede estar en el segmento AD (no se muestra en la figura). Por simetría este case es esencialmente el mismo que el caso (b) (intercambiando B con A y C con D) - los triángulos grandes serán D BDC y D BPC.

Caso (d).   Puede estar dentro del cuadrado. Por la observación 1, P debe estar en un lado de uno de los triángulos; este lado )juntado dos vértices del cuadrado) puede solamente ser AC o BD. En el primer caso el área de D ACD es la mitad del cuadrado; en el segundo, es D BCD. Esto completa la demostración del teorema.

Observación . Un par de nuestros participantes afirmaron que un pentágono podría ser dividido en menos de tres triángulos. Uno debe tener cuidado aquí. Esta afirmación es ciertamente cierta para pentágonos convexos (con todos los ángulos menos de 180 ° ), pero no es cierta en el caso del pentágono APBCD que aparece en el caso (d), como puede verse en el diagrama.

  Demostración del teorema de Mir .  

            De la observación 2 cada triángulo comparte por lo menos dos vértices con el cuadrado. Sin pérdida de generalidad, un triángulo compartirá el lado AB con el cuadrado y otro compartirá el lado DA. Como se muestra en el diagrama, el tercero compartirá con el cuadrado los vértices B y C, A y C, o C y D. En cada caso el área del triángulo amarillo es la mitad del área del cuadrado.

Los tres casos de la demostración de Mir.

Demostracion del teorema de Kais.

Caso (a).   Si P no es un punto en el interior de un lado del cuadrado, entonces cada lado del cuadrado se comparte con un lado de los triángulos. Porque hay tres triángulos pero cuatro lados, dos de éstos lados deben pertenecer al mismo triángulo. Porque éstos dos lados no pueden ser paralelos, deben ser adyacentes. El tercer lado del triángulo tendría entonces que ser una diagonal del cuadrado, para que el triángulo llena la mitad del cuadrado.

Caso (b).   Si, por otro lado, P es un punto interior de un lado del cuadrado, digamos BC, entonces por la observación 1, los otros tres lados del cuadrado se comparten con los triángulos. En particular, el triángulo cuyos lados es AD (opuesto a P) debe tener un tercer vértice en el lado BC (en C, en P, o en B, como en el caso (b) de la primera demostración.) Otra vez esta área es igual a la mitad del área del cuadrado, y la tercera demostración esta completa.

Comentarios en las extensiones del problema.

            Buenos problemas siempre conducen a otros problemas. ¿Qué tal la división del cuadrado en 5, 7 o un número arbitrario non de triángulos de áreas iguales? Mir no trató de contestar esta pregunta, pero demostró que si hubiera una forma de dividir un cuadrado en n triángulos con la misma área, entonces también se podría hacer para n + 4 triángulos y, por lo tanto por inducción, para n + 4k triángulos. Aquí esta como lo hizo. Si se quieren n + 4 triángulos y el cuadrado tiene lado s, cada triángulo tendrá área s 2 /(n+4).   La figura muestra como la partición del cuadrado en cuatro triángulos rectos cuya base es un lado del cuadrado (la longitud es s) y la altura es 2s/(n+4), junto con un cuadrado que por hipótesis puede ser dividido en n triángulos de área igual. (Los vértices de los 4 triángulos que están dentro del cuadrado exterior son los puntos, donde las líneas apropiadas de las alturas interceptan el círculo cuyo diámetro es el lado del cuadrado; esto produce los ángulos rectos requeridos.)

            Ya que es posible dividir un cuadrado en dos o cuatro triángulos de áreas iguales (usando uno o dos diagonales, respectivamente), podemos producir 2 + 4k o 4 + 4k triángulos y tener aún mas otra forma de contestar la parte 1 del problema del mes. De ser posible dividir el cuadrado en un número non de triángulos para algún n, entonces la observación de Mir conduciría a la división para un número infinito posible de números nones.

            La pregunta de dividir un cuadrado en un número non de triángulos de áreas iguales parece haber sido propuesta primero por Fred Richman in 1965.   Su colega John Thomas la contestó en parte; Paul Monsky ( American Mathematical Monthly 77 :2 (February 1970), 161-164), usando el trabajo de Thomas, demostró que la respuesta a la pregunta de Richman es

No hay división de un cuadrado en un número non de triángulos de áreas iguales.

Aunque su argumento no es elemental, no es difícil. El argumento es dicho en una forma elemental por Sherman Stein en un artículo que aparece, por coincidencia, justamente el mes pasado: "Cutting a Polygon into Triangles of Equal Areas,"   The Mathematical Intelligencer , 26 :1 (2004), 17-21. Stein también discute un número relacionado de problemas de divisiones de varias formas en la plano y en otras dimensiones. Algunos de estos problemas no han sido aún resueltos. Agradecemos a   Pierre Bornsztein por habernos informado sobre el artículo de Stein.