En la obra Partition de Ira Hauptmann, la cual se ha presentado alrededor del mundo con las localidades agotadas, Ramanujan le dice a Hardy que 153 es un número interesante.
Es igual a la suma de los cubos de sus dígitos:
153 = 13 + 53 + 33.
Yo se que hay, en total, solamente cinco números positivos
de base 10 que es igual a la suma de los cubos de sus dígitos.
Demustre que Ramanujan esta en lo correcto.
Solución de MP44
Recibimos soluciones correctas de Alexander Akulov (Regina), Ernest Creiser (Francia), Xavier Hecquet (Francia), Wolfgang Kais (Alemania), y Lionel Ruiz (Francia).
Todos notaron rápidamente que no hay necesidad de considerar número que tengan mas de cuatro dígitos: La suma de los cubos de n números de un dígito pueden ser a lo mas 9 3n = 729n. Para n > 4 este número es considerablemente menor que el número más pequeño de n dígitos, es decir 10n-1 = 103·10n-4. En efecto, para cuatro dígitos 4·729 = 2916 así que, si los dígitos son a, b, c y d, uno solo tiene que verificar para 2916 casos sí
a·103 + b·10 + d = a3 + b3 + c3 + d3
Una computadora puede fácilmente ser programada para agotar estas posibilidades y estar de acuerdo con Ramanujan
1, 153, 370, 371, y 407son los cinco números que son iguales a la suma de los cubos de sus dígitos.
Todas las soluciones enviadas usaron una computadora en algún momento, lo cual es justo ya que Ramanujan tiene fama de haber sido tan rápido como una computadora para estos menesteres. Por otra parte, ambos Akulov y Kais llevaron la lista de casos por verificarse a un número que nadie puede verificar a mano.
Para un número de un dígito solamente tenemos que solucionar d = d3 para la solución única d = 1. (Estamos trabajando con números positivos, lo cual significa que por lo menos un dígito excede 0; para d > 1, tenemos d3> d.)
Para un número de dos dígitos c ≠ 0 y la solución es 10c + d = c3 + d3:
c(10 – c2) = d3 – d ≥ 0.
Para que el lado izquierdo sea positivo, c debe estar entre 0 y √10. Esto significa que tenemos que verificar solamente c = 1, 2, 3, para lo cual el lado izquierdo es 9, 12, y 3, respectivamente. Las posibilidades en la derecha son 0, 1, y 2, por lo cual el lado derecho es 0, 0 y 6. (Para d más grande que 2, d3 – d > 12.) Concluimos que la ecuación no puede ser satisfecha, así que ningún número de dos dígitos satisface la condición de Ramanujan.
Para números de tres y cuatro dígitos deducimos de la ecuación (1) que
a(103 - a2) + b(102 - b2) = c(c2 - 10) + d(d2 - 1) (2)
El lado derecho de (2) puede asumir menos de 100 valores, es decir la suma de un elemento de cada hilera de la siguiente tabla:
| Valor del sígito -> | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| d(d2 - 1) | 0 | 0 | 6 | 24 | 60 | 120 | 210 | 336 | 504 | 720 |
| c(c2 - 10) | 0 | -9 | -12 | -3 | 24 | 75 | 156 | 273 | 432 | 639 |
Kais infiere rápidamente dos observaciones de esta tabla. Primero, ya que cada residuo módulo 10 aparece en la segunda hilera, no hay una forma rápida de eliminar posibilidades.
Segundo, la suma más grande en el lado derecho de (2) es 1359 (cuando c = d = 9); por lo tanto el dígito a (en la izquierda) puede a lo mas ser 1 (ya que a ≥ 2 implica a(1000 – a2) ≥ 1992). Esto permite las 19 posibilidades justas del lado izquierdo de (2) que se dan en la siguiente tabla. La primera hilera tiene a = 0, la segunda tiene a = 1
| b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| b(100 - b2) | -- | 99 | 192 | 273 | 336 | 375 | 384 | 357 | 288 | 171 |
| 999 + b(100 - b2) | 000 | 1098 | 1191 | 1272 | 1335 | 1374 | 1383 | 1356 | 1287 | 1170 |
Para cada una de estas 19 sumas posibles en la izquierda de (2), necesitámos solamente verificar unos pocos valores de x y d para ver si la ecuación (2) puede ser satisfecha. Por ejemplo, con a = 0 y b = 2, el lado izquierdo de (2) es 192. Para d vemos a los valores hasta d = 5, y los coincidimos con los valores de c hasta 6. No toma mas de un momento o dos ver que ninguna combinación suma 192. Similarmente, cuando a = 0 y b = 3, las suma por coincidir es 273; esta suma puede ser alcanzada en la derecha cuando c = 7 (lo que significa c(c2 – 10) = 273) y d = 0 o 1 (por lo cual d(d2 – 1) = 0).