Feliz Año Nuevo! El equipo del Problema del mes te desea tanta salud y felicidad este año como las que disfrutaste el año pasado: Encuentra el máximo valor posible de f(2006) - f(2005) donde f es una función a valores reales que satisface la desigualdad
para todo par de números reales x e y Recibimos soluciones correctas de
Solución. Resulta que f es una función constante, de manera que f(x) = f(y) para todos los valores de x e y; en particular, f(2006) – f(2005) = 0. Nuestroslectoresproveyeron dos formas de veresto. Método 1. (Usando la desigualdad triangular) Sea n un entero positivo y definamos xk = 2005 + k/n para k = 0, 1, ..., n. Entonces |f(2006) – f(2005)|= |f(xn) – f(x0) = |(f(x1) – f(x0)) + (f(x2) – f(x1)) +... + (f(xn) – f(xn–1))| ≤ |(f(x1) – f(x0))| + |(f(x2) – f(x1))| +... + |(f(xn) – f(xn–1))| (por desigualdad triangular) ≤ (x1– x0)2 + (x2– x1)2+... + (xn– xn–1)2 (por definición de f) = n(1/n)2 (por definición de xk) = 1/n Como |f(2006) – f(2005)| ≤ 1/n para todos los enteros positivos n, f(2006) – f(2005) = 0 como se quería probar. Por supuesto, en el argumento anterior podemos reemplazar 2006 por x, 2005 por y, y hacer xk = x + k(y – x)/n, probando entonces que f(x) – f(y) = 0 para todo x, y. En otras palabras, f es constante.
Método 2. (Usando cálculo elemental) Cuando ponemos y = x + h, la desigualdad dada se convierte en |f(x + h) - f(x)| ≤ (x + h – x)2 = h2. Luego, para todo x fijo y para todo h, Haciendo tender h a cero vemos que el límite del cociente es cero. Luego, f es diferenciable para todo x y su derivada cumple f '(x) = 0, lo que implica que f(x) es constante (Teorema del Valor Medio). Vemos por tanto que f(x) = f(y) para todo x, y.
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