Los enteros positivos d y n son escogidos de tal manera que

(a) n es un múltiplo de d

(b) n2 + d2 es un múltiplo de nd + 1

¿Cuáles son los valores posibles de d y n?

Agradecemos a Andy Liu de la Universidad de Alberta el habernos enviado este problema del mes.

¿Para que enteros positivos es n⁴ + 4ⁿ un número primo?

Esta es la forma en que los semáforos funcionarían si los matemáticos estuvieran encargados de ellos. Los colores rojo, amarillo y verde de un semáforo están controlados por tres switches con 3-posiciones. Las tres posiciones de cada switch están marcadas con 0, 1, y 2, y los switches siguen dos reglas:

1. El color de la luz que se muestra depende solamente de las
   posiciones de los switches.
2. Si usted cambia las posiciones de los tres switches al mismo tiempo, entonces el color de la luz cambia.

Al principio la luz del semáforo es roja y todos los otros switches están en la posición 0.

Switch A

Switch B

Switch C

Usted cambia el switch A a la posición 1, y la luz cambia a amarilla.

Switch A

Switch B

Switch C

¿ Qué pasa si ahora mueve el segundo switch a la posición 2?

Switch A

Switch B

Switch C

Mas generalmente, explique cual posición de los switches corresponde a que color de la luz del semáforo.

Este problema del mes esta basado en un problema básico publicado en “ Graph Products, Fourier Analysis, and Spectral Techniques,” por Alon, Dinur, Friedgut, and Sudakov.

1. Demuestre como dividir un cuadrado en n triangulos de la misma area y sin intersectarse, siendo n un numero par.
   
   
2. Demustre que es imposible dividir un cuadro en tres triangulos de la misma area y sin intersectarse 

Aquí esta otro problema de dados para la temporada de vacaciones. Con un par ordinario de dados la distribución de la suma es

La tabla nos dice que la suma 2 aparece en mas de una forma (como 1 + 1), 3 aparece en dos formas (como 1 + 2 y como 2 + 1), y así sucesivamente. El problema para enero es encontrar otra forma de poner números en los dados que den la misma distribución de las sumas.

En las tiendas uno encuentra calendarios perpetuos que consisten de pares de cubos cuyas caras muestran los números del 0 al 8. Los números están arreglados de tal manera que dos cubos pueden ponerse juntos para representar todos los 31 días del mes. Un cubo tiene los números del 0 al 5 en sus caras, mientras que las otras tienen los números 0, 1, 2, 6, 7, 8. Es obvio que los números 0, 1, y 2 deben de aparecer en

un cubo (para acomodar los días con un solo dígito, así como los días 11 y 22). ¿Pero que pasa con 9, 19, y 29? Uno necesita aquí el truco de que la cara con el número 6 sirve también como 9.

Se dice que nosotros usamos el sistema de base 10 para contar porque tenemos diez dedos. Nuestro problema para este mes es usar números en bases otras que no sean 10 para diseñar calendarios para personas con menos de diez dedos. En particular,

1. ¿puede usted poner números de base 2 en cada uno de las 12 caras disponibles en los dos cubos para producir todos los números del 1 al 31 (= 11111₂)? Si lo hace económicamente habrá caras disponibles para acomodar anuncios.
   
   
2. ¿es posible también usar la base 9?

Usted se preguntará que cual es la base numérica 2. La historia esta narrada en la página web Mathworld http://mathworld.wolfram.com/Binary.html

En ésta página usted encontrará los números del 1 al 30 escritos en base 2.

El pueblo tiene cuatro oficiales de tránsito que trabajan dos turnos por día, en la mañana y en la tarde. Los cuatro trabajan a la misma velocidad. Las rutas de la mañana tienen longitudes x₁ > x₂ > x₃ > x₄, y las rutas de la tarde tienen longitudes y₁ > y₂ > y₃ > y₄. A cada oficial que trabaja mas de H horas, se le pagan las horas extras.

Por cierto, los cuatro se juntan en la tienda de donas del pueblo para el almuerzo, alli hay cuatro cocineros en una situación similar: Para llegar al trabajo estacionan sus patinetas en la calle donde los parkimetros tienen tiempo limite de H horas. Sus jornadas de hornear son de x₁ > x₂ > x₃ > x₄ horas y sus jornadas de limpieza son de y₁ > y₂ > y₃ > y₄ horas. La tienda paga las multas de estacionamiento de los cocineros cuyas jornadas tienen mas de H horas.

Demuestre que la mejor forma de asignar las rutas de la mañana y de la tarde a cada oficial para minimizar las horas extras es x₁ + y₄, x₂ + y₃, x₃ + y₂, x₄ + y₁ . ¿Es necesariamente ésta también la mejor forma de asignar las jornadas a los cocineros?