Solución del problema de mayo, 2007

El problema:
	¿Hallar todos los enteros positivos n que satisfacen para todo número real x ≥ n?

Respuestas correctas:
	Martin Argerami (Regina) Normand LaLiberté (Ontario) Christophe Brighi (Francia) Matthew Lim (USA) Qin Deng (Toronto) John T. Robinson (USA) Sébastien Dumortier (Francia) K. Sengupta (India) Stefan Gatachiu (Rumania) Bob Franz (USA) Wolfgang Kais (Alemania) Xavier Hecquet (Francia)

La solución:

Solución.  Sólo n = 1 y n = 2 satisfacen la desigualdad dada.
            En efecto, para n = 1 tenemos x – 1 < x, de manera que para x ≥ 1

como se pedía.
            Para n = 2 y x ≥ 2, comencemos con (x – 2)² ≥ 0, que implica x²≥ 4x – 4. Tomando raiz cuadrada en ambos lados,

como se pedía.
            Para n ≥ 3, la desigualdad falla para valores adecuados de x. De hecho siempre falla para x = n + 1. Probamos esto basado en dos simples desigualdades:

1. para j yendo de 0 a n – 1, y
2. (ya que , se sigue que
               

Prueba de que cuando x = n + 1:

Comentarios.
        Además de resolver nuestro problema, John Robinson investigó el comportamiento de la diferencia entre x y la suma de las raíces cuadradas

Como vimos antes, la function es negative si n ≥ 3 y x = n+1; además, es claro que para x > n² es positiva.  Robinson pudo mostrar que f(x) cambia de negative a positive cerca de n²– n/2.  Más precisamente, cuando n < 4, y además x es un entero,

donde los corchetes inferiores indican la parte entera. Entonces, por ejemplo, con n = 5 y
x = 5² – (5 + 1)/2 obtenemos

mientras que

Probó esto cambiando cada raíz cuadrada por su polinomio de Taylor de grado dos

y sumando.
        Matthew Lim se preguntó qué clase de resultado se obtiene en nuestro problema cuando las raíces cuadradas son reemplazadas por raíces k-ésimas. Pudo probar (por inducción) que para n ≥ 2^k – 1 y x = n + 1 tenemos

No pudo, sin embargo, decir cómo se compara la suma con x cuando n < 2^k – 1, salvo en el caso de nuestro problema (donde k = 2).