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Solución del problema de octubre, 2006
| El problema: |
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La tarea es convertir
x2 + 10 x + 20 en x2 + 20 x + 10
en 50 pasos o menos, donde en cada paso está permitido
sumar o restar 1 sea al coeficiente constante o al de x (pero no a ambos).
Además, cada paso debe producir un polinomio que
no pueda factorizarse como (x+m)(x+n) con m,n enteros;
por ejemplo, en el primer paso no se puede reducir el 10 a 9 porque x2+9x+20=(x+5)(x+4).
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Respuestas correctas: |
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Recibimos respuestas correctas de
Mario Antunez (Honduras) |
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Wolfgang Kais (Alemania) |
Quinn Barber (Alberta) |
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Matthew Lim (USA) |
Pierre Bornsztein (Francia) |
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Patrick LoPresti (USA) |
Bernard Carpentier (Francia) |
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Juan Mir Pieras (España) |
K.A. Chandrashekara (India) |
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Wilfrid Pillard (Francia) |
Sébastien Dumortier (Francia) |
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Torin Stepan (Alberta) |
Philippe Fondanaiche (Francia) |
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A. Teitelmam (Israel) |
Xavier Hecquet (Francia) |
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La solución:
Fondanaiche sugirió que le pasemos la tarea a Sísifo para mantenerlo ocupado cuando se cansa de subir su piedra montaña arriba. Varios respondentes calificaron su tarea como “misión imposible”. Pero, por supuesto, el equipo de “misión imposible” siempre cumple con su misión. Aquí hubiera fallado hasta el gran Tom Cruise. No puede hacerse, aún si permitimos más pasos de los 50 iniciales. Hay dos caminos básicos.
La solución algebraica. (Basada en soluciones similares de Bornsztein, Carpentier, Fondanaiche y Kais.)
Sea p el coeficiente acutal de x y q el término constante, y sea d = p – q. En cada paso, d cambia en +1 o –1. Al comienzo, d = –10, mientras que al final d debe ser igual a +10. Entonces, en algún momento del proceso d toma el valor 1. El polinomio resultante sería x2 + (q+1)x + q para algún entero q.
Pero x2 + (q+1)x + q = (x + q)(x + 1) con q y 1 enteros, lo que no está permitido.
La solución geométrica. (Esta versión la tomamos mayormente de Mir, con ideas de otras soluciones similares)
Podemos asignar el polinomio x2 + px + q al cuadrado con coordenadas (p, q) en un tablero de ajedrez infinito. En cada paso nos movemos un casillero a la izquierda o derecha, arriba o abajo, pero no en diagonal. Marquemos con rojo cada casillero correspondiente a un polinomio que pueda factorizarse como (x + m)(x + n) con m y n enteros. Debemos movernos de la posición (10, 20) a la (20, 10), de a un paso, sin entrar en un casillero rojo. Esto no puede hacerse, porque la diagonal (q+1, q) es toda roja.
Dumortier, Chandrashekara, y Hecquet incluyeron gráficos de parte del tablero. La imagen de Dumortier que mostramos indica los cuadrados correspondientes a polinomios factorizables con 0 y los colorea con rojo; para polinomios que son irreducibles sobre los enteros, marca el casillero correspondiente con 1 y lo colorea de azul.
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