Solución del problema de Noviembre, 2008

El problema:
	PM81: Noviembre 2008 ¿Para qué k ≥ 3 es igual a pn, con p primo?

Respuestas correctas:

Nuestro problema es el Problem 984 en Crux Mathematicorum with Mathematical Mayhem, 12:1 (Enero 1986), pp. 15-16 (en los días en que la revista se llamaba simplemente Crux Math).   Recibimos soluciones de Bojan Basic (Serbia) Farid Alberto Lian Martínez (Colombia) Gérad Billion (Francia) Matthew Lim (USA) Jean Braconnier (Francia) Sébastien Racanière (UK) Olivier Cyr (Francia) John T. Robinson (USA) Dan Dima (Rumania) Albert Stadler (Suiza) Philippe Fondanaiche (Francia) Bernard Carpentier (Francia) Catherine-A. Nadault (France)   Sin embargo dos de nuestros lectores fueron un poco descuidados este mes y no prestaron atención a un par de casos: sus soluciones están incompletas.

La solución:

k puede tomar los valores 3, 4, 5, 8.  Todas las soluciones recibidas utilizaron el mismo argumento. Sea , con k, n enteros positivos, p primo. Entonces tenemos que

(k – 2)(k + 1) = 2pⁿ,                                                        (1)

de manera que (i) k – 2 es par; o (ii) k + 1 es par.

Caso (i).  Si  k – 2 = 2m, m ≥ 1, entonces (1) se convierte en m(2m + 3) = pⁿ, lo que implica que m = p^r , y

2p^r + 3 = p^n–r.                                                                   (2)

1. r = 0.  Por (2) tenemos m = 1,  2m + 3 = 5 = pⁿ; luego, k = 4, pⁿ = 5.
   
   
2. r ≥ 1.  Ahora p debe dividir ambos miembros de (2), de manera que p divide a 3 y entonces p = 3.  La ecuación (2) se convierte en 2·3^r + 3 = 3^n–r, de donde deducimos que 2·3^r–1 + 1 = 3^n-r–1.   El lado derecho no puede ser 1 (porque eso implicaría que 2·3^r–1 = 0); y entonces r – 1 = 0 (de otro modo el lado izquierdo sería para algún entero no nulo , y no sería divisible por 3).  Concluimos que n = 3, m = 3, 2m + 3 = 9, o sea que en este subcaso k = 8, pⁿ = 27.

Caso (ii).  Sea k + 1 = 2m, m > 1.  Entonces  (1) es m(2m – 3) = pⁿ, , que implica m = p^r para algún r ≥ 1, y

2p^r – 3 = p^n–r.                                                                   (3)

1. n – r = 0.  Por  (3) tenemos r = n = 1, p = 2; luego, k = 3, pⁿ = 2.
   
   
2. n – r ≥ 1.  Aplicando argumentos de divisibilidad a (3) obtenemos que p = 3, de manera que (3) se convierte en 2·3^r–1 – 1 = 3^n-r–1.  Nuevamente 3^r–1 o 3^n-r–1debe ser 1.  Aquí estas condiciones implican r = 1, n = 2, y entonces k = 5, pⁿ = 9.