Solución del problema de Febrero, 2013

El problema:
	Encuentre todas las funciones reales $f(x)$ tales que $$f\left(x^3+y^3\right) = x^2f(x) + yf(y^2) $$ para todos $x,y$ reales.

Respuestas correctas:

Este problema fue el número 6 en la final de la 46$^{\rm a}$ Olimpíada Matemática Ucraniana (2006), propuesto por T.M. Mitelman. Recibimos soluciones correctas de Lamis Alsheikh (Siria) Luigi Bernardini (Italia) Aleksandar Blazhevski (Macedonia) Radouan Boukharfane (Quebec) Lou Cairoli (USA) Ioan Viorel Codreanu (Rumania) Bernard Collignon (Francia) Hubert Desprez (Francia) Mei-Hui Fang (Austria) Jan Fricke (Alemania) Georges Ghosn (Quebec) Pierre Gobin (Francia) Matthew Lim (USA) Patrick J. LoPresti (USA) Ángel Plaza (España) Heri Setiyawan (Indonesia) Albert Stadler (Suiza) Hakan Summakoğlu (Turquía) Bruno Tisserand (Francia) Daniel Văcaru (Romania) Arthur Vause (UK)   También recibimos una solución incorrecta.

La solución:

CoEs fácil ver que, para cualquier número real $m$, la función $\boldsymbol{ f(x)=mx}$
satisface nuestra equación funcional:
En el lado izquierdo tenemos
$$f(x^3+y^3) = m(x^3+y^3),$$
mientras que en el derecho
$$x^2f(x) = x^2\cdot mx\quad \mbox{ and } \quad yf(y^2) = y\cdot my^2.$$
Ahora debemos probar que no hay otras soluciones. Para ellos, supongamos que
$f(x)$ satisface
\begin{equation}
f\left(x^3+y^3\right) = x^2f(x) + yf(y^2) .
\end{equation}
Entonces $f(x^3) = f(x^3+0) =_{(1)} x^2f(x)$, y $f(x^3) = f(0+x^3) =_{(1)} xf(x^2)$. Es decir,
\begin{equation}
f(x^3) = x^2f(x) = xf(x^2).
\end{equation}
Cuando $x=0$, la ecuación (2) nos dice que $f(0)=0$; cuando $x \ne 0$ podemos dividir por
$x$ para obtener $xf(x) = f(x^2)$. Entonces, para todo $x$,
\begin{equation}
f(x^2)=xf(x).
\end{equation}
Además, la ecuación (2), al ser sustituída en (1), nos dice que
$$f\left(x^3+y^3\right) = x^2f(x) + yf(y^2) =_{(2)} f(x^3)+f(y^3)$$
para todos $x,y$. Se sigue que para reales cualesquiera $a,b$ podemos poner $x=a^{1/3}$, $b=y^{1/3}$,
y deducimos que
\begin{equation}
f(a+b) = f(a) + f(b).
\end{equation}
La ecuación (4) es la Ecuación Funcional de Cauchy, que tiene infinitas soluciones además de las lineales $f(x)=mx$. Varios lectores se sintieron obligados a hacer suposiciones adicionales (como continuidad) para eliminar las soluciones no-lineales. La mayoría notó, sin embargo, que la ecuación (3) logra el objetivo sin tener que asumir nada más. Notemos que, para todo $x$,
$$f\left((x+1)^2\right) =_{(3)} (x+1)f(x+1) =_{(4)} (x+1)(f(x)+f(1)) = xf(x)+xf(1)+f(x)+f(1).$$
Por otra parte,
\begin{eqnarray*}
f\left((x+1)^2\right) = f\left((x^2+x)+(x+1)\right) &=_{(4)}& f\left((x^2+x)\right) + f(x+1)\\
&=_{(4)}& f(x^2) + f(x) + f(x) + f(1)\\
& =_{(3)}& xf(x) + f(x) + f(x) + f(1).
\end{eqnarray*}
Se sigue que
$$xf(x)+xf(1)+f(x)+f(1) = xf(x) + f(x) + f(x) + f(1),$$
de donde $f(x) = f(1)\cdot x$. Tomando $m=f(1)$, obtenemos la forma buscada, es decir $f(x) = mx$.