1. ¿Existe una función continua $f: \mathbb{ R}\rightarrow \mathbb{ R}\;$ que tome cada uno de sus valores exactamente dos veces?
   
   
2. ¿Existe una función continua $f: \mathbb{ R}\rightarrow \mathbb{ R}\;$ que tome cada uno de sus valores exactamente tres veces?

El problema de este mes es nuestro tributo a Jorge Luis Borges, autor de La Biblioteca de Babel.

La

Enciclopedia Cabalística de Permutaciones del Alfabeto

consiste de siete volúmenes con las permutaciones del alfabeto de 26 letras en orden alfabético. Los volúmenes son muy grandes y están escritos en letra muy pequeña, debido a que hay tantas permutaciones. Cada volumen contiene exactamente un séptimo del total de permutaciones; si se abre el primer volumen y se mira con una lupa, se ve en el tope la primera permutación

abcdefghijklmnopqrstuvwxyz,

seguida por

abcdefghijklmnopqrstuvwxzy.

El problema: ¿cuál es la última permutación que aparece en el primer volumen?

Encuentre aquellos enteros positivos $n$ y $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$, tales que $a_1+a_2+\cdots a_n=2011$ y el producto $a_1\cdot a_2\cdots a_n$ es máximo.

La fórmula de Herón determina el área de un triángulo en términos de la longitud de sus tres lados. ¿Es cierto que el volumen de un tetrahedro está determinado por las áreas de sus cuatro caras?

¿Es (20102011!)² mayor que 20102011^20102011?

"Calcule

y justifique su respuesta".

Encuentre todos los primos p tales que 2^p+p² también es primo.

Un fontanero cuenta con una pila de tubos rectos de igual longitud, y una caja llena de codos en ángulo recto. El fontanero se da cuenta de que no puede utilizarlos para armar un pentágono, aunque sí puede hacer un polígonos cerrados de 6 y de 7 lados. Pruebe que las observaciones del fontanero son correctas (para aquellos matemáticos sin experiencia en plomería, les aclaramos que los tubos rectos no pueden ser unidos sino mediante un codo, es decir que todos los tubos se unen en ángulo recto).