¿Existe una función real acotada $f(x)$ tal que $f(1)>0$ y tal que

$$\left(f(x+y)\right)^2 \ge \left(f(x)\right)^2 + 2f(xy) +\left(f(y)\right)^2$$

para todo par de números reales $x,y$?

El polinomio $p(x)$ a coeficientes reales tiene grado $2011$ y satisface
$$p(n)=\frac{n}{n+1}$$
para todos los enteros $n,\; 0 \le n \le 2011$. Calcule $p(2012)$

1. ¿Existe una familia de circunferencias en el plano tales que todo punto del plano yace en exactamente dos de ellas?
   
   
2. ¿Existe una familia de circunferencias en el plano tales que todo punto del plano yace en exactamente cien de ellas?

Encuentre los enteros positivos $m$ y $n$ tales que las raíces de las ecuaciones
$$x^2 - mx + (n+1) = 0 \quad \mbox{ and } \quad x^2 - (n+1)x + m = 0$$
son enteros positivos tales que, junto con $m$ y $n$, forman (en algún orden) una progresión aritmética cuya suma es 21.