Encuentre todos los pares $c$ y $d$ de números reales tales que todas las raíces de los polinomios

$$6x^2-24x-4c \quad \mbox{ y } \quad x^3 +cx^2 +dx - 8$$

son números reales no-negativos.

Encuentre todas las funciones reales $f(x)$ tales que
$$f\left(x^3+y^3\right) = x^2f(x) + yf(y^2) $$
para todos $x,y$ reales.

Tenemos cinco segmentos de recta tales que cualquier grupo de tres puede ser utilizado para formar un trángulo que los tiene como lados (es decir, dados tres segmentos cualesquiera, la suma de las longitudes de dos de ellos excede la longitud del tercero). Pruebe que al menos uno de los diez trángulos posibles es agudo (es decir, sus tres ángulos interiores son agudos).

Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $n+184$ y $n-285$ son ambos cubos de enteros.

1. Sea $w$ una "palabra'' de $n$ letras, donde palabra significa simplemente una colección de letras una al lado de la otra en algún orden (no tiene que ser una palabra de algún idioma conocido). Probar que si $w$ está formada por 10 o menos letras distintas (con repeticiones permitidas) entonces se pueden remplazar las letras de $w$ con dígitos (a igual letra igual dígito, distintas letras corresponden a distintos dígitos) de manera que el número resultante es múltiplo de 3.
   
   
2. Dar un ejemplo de una palabra que contiene 10 o menos letras distintas tal que no es múltiplo de 7 bajo ningún remplazo de las letras por dígitos de la manera descripta arriba.

Decimos que una función de variable real $f(x)$ estrictamente decreciente si $a<b$ implica $f(a)>f(b)$.

1. ¿Existe una función $f$, estrictamente decreciente, tal que $f\left(f(x)\right) = x+1$ para todo $x\in \mathbb{R}$?
   
   
2. ¿Existe una función $g$, estrictamente decreciente, tal que $g\left(g(x)\right) = 2x+1$ para todo $x\in \mathbb{R}$?

$N$ es un conjunto que contiene algunos números naturales entre 1 y 15, y tiene la propiedad de que el producto de tres cualquiera de sus miembros no es un cuadrado. Por ejemplo, si $N$ contuviera 2 y 6, no puede contener a 12 porque $2\cdot 6 \cdot 12 = 144$, que es un cuadrado. ¿Qué tan grande puede ser $N$?