1. Se le muestran cinco puntos en el plano y se le dice que estos puntos son puntos medios de los lados de cierto pentágono. Encuentre el pentágono.
   
2. Dados los puntos medios de los lados de cierto polígono de n lados en el plano, ¿es posible poder determinar siempre el polígono?

En una edición antigua de "Créalo o nó", de Ripley, se enuncia que el número

N=526315789473684210

es un número PERSISTENTE: si N es multiplicado por cualquier entero positivo, el producto obtenido siempre contiene los diez dígitos 0, 1, 2, , 9 (con repeticiones, por supuesto).

1. Pruebe que el enunciado de Ripley es o bien verdadero, o falso.
   
   
2. ¿Hay números persistentes menores que N?

Encontramos este problema en la revista Crux Mathematicorum 27:3 (abril 2001), páginas 204-205. Se trata del problema 3 de la Novena "Konhauser Problemfest" Anual (en Carleton College; preparado por David Savitt y Russell Mann).

El problema de junio:

A B C C B A B C B A
 C A C A C C A A C
  B B B B C B A B
   B B B A A C C
    B B C A B C
     B A B C A
      C C A B
       C B C
        A A
         A

El problema de este mes aparece en ALGEBRA (1572), http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk:80/~history/Bookpages/Bombelli4.gif, cuyo autor, Rafael Bombelli, vivio desde 1526 al 1573. Gracias Rafa.

Encuentre la longitud del lado de un cuadrado DEFG inscripto en un triángulo ABC, con el vértice D en el lado AB, el lado EF contenido en el lado BC, con el vértice G en el lado AC, con longitudes de lados AB=13, BC=14, y CA=15.

Esta propiedades no se cumplen si uno considera, por ejemplo, el cuadrado con vértices (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2): Sus vértices tienen las coordenadas enteras, pero hay otros puntos con coordenadas enteras en el interior (como ser (1, 1)), o en el borde (como ser (0, 1)). Por otro lado, es fácil encontrar cuadriláteros convexos con vértices con ambas coordenadas enteras que no contienen otros puntos con ambas coordenadas enteras en el interior o en el borde: Estos cuádrilateros deben ser largos y angostos, como por ejemplo el dado por los vértices (0, 0), (1, 2), (2, 5), (1, 3). (Decimos que un polígono es convexo si para cada par de puntos en el polígono, la línea que las une está contenida en el polígono.)

¿Existe un pentágono convexo con vértices de ambas coordenadas enteras que no contienen otros puntos de ambas coordenadas enteras en su interior o en su borde?

El diagrama muestra al círculo unitario con una zona sombreada cuyo borde consiste en tres arcos circulares de radio 1, con centros equidistantes en el círculo. (Si uno se imagina al diagrama como si fuera la cara de un reloj, los centros de los arcos mencionados estarían ubicados en las horas 12:00, 4:00, y 8:00.) El problema consiste en disecar la porción no sombreada de la cara del reloj en partes de manera tal que se puedan rearmar para formar un rectángulo.

Este mes, el problema es una variación de uno muy conocido: Es fácil recubrir los cuadrados de un tablero de ajedrez común (8 por 8) usando 32 fichas de dominó. Sin embargo, si eliminamos los cuadrados correspondientes a dos esquinas opuestas del tablero, no es posible cubrir el resto del tablero con sólo 31 fichas de dominó. Este es un problema clásico que sirve de precalentamiento al que sigue: Considere un "tetraminó", que consiste en una ficha de cuatro cuadrados puestos en forma de "T" como la siguiente:

Es fácil recubrir el tablero común de ajedrez (8 por 8) con estos tetraminós.

¿Es posible recubrir un tablero de 10 por 10 con tetraminós en forma de T como los descriptos arriba? Tiene que demostrar que no se puede hacer, o bien mostrar cómo se hace.