Un problema del dinamarqués "Georg Mohr Konkurrencen en I Matematik 1996" fue generalizado por Pierre Bornsztein [CRUX MATHEMATICORUM 2001, página 240]. El demostró que si (a) P es una permutación del conjunto {1, 2, ..., n}, y (b) n es congruente con 2 o 3 módulo 4, entonces los números |k - P(k)| no pueden ser distintos. Nuestro problema de agosto es saber que pasa cuando n = 20:

En este mes de julio veremos el problema de inscribir un triángulo equilátero dentro de un triángulo T con lados a = b = c. Note que los ángulos opuestos a estos lados están ordenados como A, B, C. No es difícil demostrar que cuando el ángulo medio B es a lo más 60 grados, el triángulo equilátero mas grande que se ajusta a T descansa en el lado más grande a. Cuando B = 60 hay una condición en a, c, y B que dice cuando el triángulo equilátero mas grande en T descansará en el lado mas grande a o en el lado mas corto c. Esta fórmula puede ser encontrada en "Equilateral Triangles in Triangles", un articulo de Richard P. Jerrard y John E. Wetzel que aparecerá en el American Mathematical Monthtly mas tarde en éste año.

El problema de julio:

Describa el œnico triangulo no equilátero para el cual los tres triángulos equiláteros más grandes inscritos en él, uno en cada lado, son iguales.

La referencia del problema de este mes es de la quinta Competencia por Equipos organizada por la Sección Central de la Asociación de Matemáticas de América. Se llevó a cabo el 10 de noviembre de 2001.

Definimos la parte fraccional de r como

F(r) = r -(el entero máximo que divide exactamente a r)

algunos ejemplos:

F(12.34) = .34, F( ¹¹/₂) = ¹/₂, F( ⁸/₃) = ²/₃.

Problema para mayo:

encuentre un número positivo r tal que F(r) + F( ¹/_r) = 1.

Para darle la bienvenida a la primavera, nuestro problema del mes le rinde tributo a la cocina canadiense.

1. En un tazón grande, mezcle un huevo, una taza de leche, una taza de harina, una cucharadita de polvos de hornear, y un poco de sal. Asi usted obtiene algo llamando pancake batter.
   
   Ponga una cucharada grande de la mezcla de pancake en una plancha engrasada y caliente y cocine los dos lados aproximadamente 17 mintos. Asi usted obtine algo llamado pancake quemado.
   
   Ponga el pancake quemado sobre una hoja de papel y trace el contorno con un lapis. Asi usted obtine algo llamada una curva cerrada simple.
   
   
2. Pruebe que una curva cerrada simple contine los tres vertices de un triángulo equilátero.

El paso 4. require alguna consideracion. Mientras lo medita mas vale que haga pancakes con el resto de la mezcla y se los coma con una porción generosa de jarábe de maple.

A su enemigo se le da a escoger 2000 números enteros entre el 1 y el 3000. Su trabajo es encontrar una subsecuencia de 1000 números de los de enemigo en tal forma que resultan alternados: non, par, non, par,...cuando se les enumera en su orden natural. Pruebe que no importa que tan ingenioso es su enemigo, usted siempre podrá hacerlo.

Un tetraedro regular es una pirámide que consiste de cuatro triángulos equiláteros, cada uno de ellos unido al los otros tres a lo largo de sus lados. Dando por resultado seis orillas, y en consecuencia, todos tienen el mismo largo. Imagine que en cada una de los quatro caras, un automóvil viaja en la dirección del reloj a una velocidad constante a lo largo de las orillas que limitan esa cara. Cada uno de los quatro automóviles puede estar viajando a diferente velocidad y puede empezar en cualquier parte de su cara fronteriza. ¿Pueden los automóviles siempre evitar un choque, o están destinados a un accidente a lo largo de alguna orilla?

Para cada número r, sea T_r la transformación del plano que manda el punto (x,y) al punto (10^r x, y + r). Encuentre la ecuación de la curva continua y = f(x) que contiene la imagen de el punto (2002,2002) para cada transformación T_r.

Hay solamente un entero n para el cual la expresión

es un entero. Encuentre este valor de n y muestre que no hay otros enteros con esta propiedad.

Los dados de Efron se encuentran frente a usted.

El dado A tiene cuatro caras con cuatros, y dos caras con zeros,
el dado B tiene seis caras con treses,
el dado C tiene dos caras con seises and cuatro caras con doses,
el dado D tiene tres caras con cincos y tres caras con unos.

El juego se juega con dos jugadores. El primero escoge uno de los cuatro dados, y el oponente escoge otro de los tres que quedan. El jugador que tira el dado con el numero mayor gana el juego. Su oponente gentilmente le invita a escoger primero un dado. ¿Qué debe usted hacer?

El teatro cobra un dólar por la función del domingo en la tarde. Un domingo el cajero se da cuenta que no tiene cambio. Ocho gentes llegan al teatro; cuatro tienen solamente una moneda de un dólar y cuatro tienen solamente una moneda de dos dólares. Dependiendo de como la gente se forma en la fila, el cajero puede que si o puede que no pueda dar el vuelto correcto a cada persona formada en la fila segœn van comprando cada una su boleto. Suponga que las ocho personas forman una fila en orden arbitrario, sin saber quien tiene una moneda de a dólar y quien tiene una moneda de a dos. ¿Cuál es la posibilidad de que el cajero pueda dar el vuelto a cada persona en la fila?

Este problema del mes esta tomado del concurso de matemáticas del colegio British Columbia College del a–o 2001.

Seis profesores fueron a la sala de café del departamento de matemática el día en que había sido robada la lata en que se deposita el dinero para el café. Cada uno entró a la sala sólo una vez, se quedó un rato, y luego se marchó. Si en la sala estaban presentes por lo menos dos de ellos, al menos uno de ellos se daba cuenta de la presencia del otro. (Profesores de matemática no siempre notan a las otras personas). Cuando la secretaria del departamento interrogó a los seis matemáticos sobre sus visitas a la sala, obtuvo la siguiente información: