Si la secuencia a₀, a₁, a₂, ... satisface

1. a₁ = 1, y
2. para todo entero no negativo m y n con m ≥ n ≥ 0, a_2m + a_2n = 2(a_m+n + a_m–n),

determine a₂₀₀₅.

Este problema apareció en la competencia por equipos patrocinada por la Asociación Matemática de la Sección Central Norte de América, llevada acabo en Concordia College (Minnesota) Noviembre 10, 2001.

Las longitudes de los lados consecutivos de un cuadrángulo plano son 6,33,47 y 34. ¿Cuál es el ángulo entre las dos diagonales?

(Aunque estas longitudes parecen haber sido escogidas al azar, no lo fueron)

Doble-trueque

            Este mes mostramos como la televisión puede ser usada con propósitos educativos. Suponga que usted tiene dos televisiones una al lado de la otra, la Televisión A y la Televisión B, están activadas por dos controles remotos distintos. Llamamos doble-trueque al acto de apretar simultáneamente los botones de los controles remotos que cambian los canales de las televisiones A y B a los canales inmediatos superiores o inferiores.

Por ejemplo, de (Canal 8, Canal 6)  puede pasar a cualquiera de los canales (Canal 7,Canal 5), (Canal 7,Canal 7), (Canal 9,Canal 5) o (Canal 9,Canal 7).

            Pare el problema de este mes tiene usted tres televisiones una al lado de la otra, cada una activada con su propio control remoto (distintos) y conectadas a diferentes compañías de cable:

Televisión A esta conectada a la compañía de cable Alfa que tiene 70 canales, del A1 al A70,
Televisión B esta conectada a la compañía de cable Beta la cual tiene 60 canales, del B1 al B60, y
Televisión C esta conectada a la compañía de cable Gama que tiene 94 canales, del C1 al C94.

Sin embargo, encuentra usted que hay pocas redes transmisoras diferentes, cada una de ellas es duplicada una y otra vez, aún mas las redes son exactamente las mismas en las tres compañías de cable; en particular, el canal A1 es el mismo que el canal B1 y el canal C1, y el canal A70 es el mismo que el canal B60 y C94. Eventualmente encuentra usted que  es posible empezar de (A1,B1) y hacer doble-trueque hasta terminar con (A70,B60) en tal forma que el programa en la televisión A es siempre el mismo que el programa en la televisión B. Similarmente, es posible empezar en (B1,C1) y hacer doble-trueque hasta terminar con (B60,C94) en tal forma que el programa en la televisión B es siempre el mismo en la televisión C.

El problema de febrero. Bajo estas condiciones es posible hacer doble-trueque de (A1,C1) a (A70,C94) en tal forma que el programa en la televisión A es siempre el mismo que el programa en la televisión C.

Precaución. No trate de apretar el botón para pasar al canal inmediato inferior cuando la televisión esta en el canal 1; similarmente no trate de apretar el botón para pasar  al canal inmediato superior cuando la televisión esta en el canal máximo. Esto pudiera hacer que la televisión correspondiente explote, y su seguro puede quedar anulad.

Alicia y sus dos amigos Roberto y Cristobal han decidido jugar "el juego del toque". Se sientan de tal foma que se pueden ver uno al otro. A cada uno se le da una bolsa con dos toques uno con un pompom blanco y otro con un pompom rojo. Se vendarán lo ojos y cada uno escogerá un toque al azhar de la bolsa y se lo pondrá. Cuando se descubren los ojos, los jugadores podrán ver los pompoms en los toques de los otros, pero no el propio. No se les permitrá comunicarse entre ellos con gestos o gritos, y tendrán que susurrar a un arbitro que estará junto a ellos "creo que mi pompom es blanco" o "yo creo que mi pompom es rojo" o "paso". Si por lo menos uno de ellos adivina correctmaente y nadie se equivoca, ellos ganan un viaje a Moose jaw, Saskatchewan. Si no es asi solamente ganan palomitas de maiz. Alicia y sus amigos pueden seguir una estrategia antes de empezar a jugar que les dará un mejor resultado. Por ejemplo, ellos pueden decidir que solamente Alicia trate de adivinar y los otros pasan; esta estrategia les de un 50 porciento de probabilidades de ganar. ¿Hay alguna otra forma de hacerlo mejor?

En la obra Partition de Ira Hauptmann, la cual se ha presentado alrededor del mundo con las localidades agotadas, Ramanujan le dice a Hardy que 153 es un número interesante.

Es igual a la suma de los cubos de sus dígitos: 153 = 1³ + 5³ + 3³.

Yo se que hay, en total, solamente cinco números positivos de base 10 que es igual a la suma de los cubos de sus dígitos.

Demustre que Ramanujan esta en lo correcto.

El círculo unitario se divide en doce partes iguales, y los doce puntos que lo
dividen se unen al centro del círculo, produciendo doce rayos. Empezando por uno de los puntos que lo divide se dibuja un segmento de linea perpendicular al próximo rayo en la direccion de la manecillas del reloj; a partir del pie de esta perpendicular otra perpendicular se dibuja al próximo rayo, y asi sucesivamente.¿Cual es le limite de la suma de estos segmentos?