Sean a,b,c enteros positivos coprimos entre sí (es decir, el máximo
común divisor es 1) tal que

Pruebe que a+b, a-c, y b-c son cuadrados perfectos.

Cuatro estudiantes, Andrés, Bárbara, Clara y Daniel van a ganar un premio si todos tienen éxito en la siguiente tarea:

Uno por uno serán introducidos en una habitación donde hay cuatro cortinas, numeradas de uno a cuatro. Se han escrito las letras A,B,C,D en cuatro tarjetas -- cada letra en una y sólo una tarjeta -- y las tarjetas han sido puestas al azar detrás de las cortinas, una detrás de cada cortina. Cada estudiante podrá mirar detrás de dos cortinas de su elección. El estudiante tendrá éxito si encuentra una tarjeta con su inicial detrás de una de las dos cortinas. Si todos los estudiantes tienen éxito, el grupo gana. Si uno o más fallan, el grupo pierde.

Se permite a los estudiantes desarrollar una estrategia en común antes de comenzar la tarea, pero una vez que cada estudiante ha estado en la habitación, no se le permitirá comunicarse con el resto, ni con palabras ni con señales. Los estudiantes que no han estado todavía en la habitación tampoco podrán saber si los anteriores tuvieron éxito o no.

Si cada estudiante mira detrás de dos cortinas elegidas al azar, tendrá una chance del 50% de ganar, y el grupo tendrá una chance de ganar del 6.25%. El desafío es desarrollar una estrategia (y justificarla) que de al grupo una probabilidad de ganar de 40% o más.

Un plano vertical contiene un círculo y un punto P, que está ala izquierda del círculo y por arriba de la línea horizontal sobre la que se apoya el círculo. Su tarea es estirar un cable en línea recta desde P hasta un punto Q en el círculo tal que una cuenta que deslice por el cable llegue al círculo en el mínimo tiempo posible. La única fuerza que actúa sobre la cuenta es la gravedad. El camino más corto es a lo largo de la línea que une P con el centro del círculo, mientras que el camino con mayor pendiente es tangente al círculo. Algún camino intermedio tendrá la combinación exacta de longitud y pendiente , y usted debe determinar cuál es.      
         Todos recordamos de la escuela que

1. el cable y el aire carecen de fricción;
   
   
2. Newton nos ha informado que para un cuerpo que se mueve con aceleración constante la relación entre la distancia s, la velocidad v, y el tiempo t es
   
                           s = ¹/₂ vt; y
   
   
3. si m  es la masa de la cuenta, g es la gravedad, y h es la componente vertical de la línea entre P y Q, entonces la energía potencial mgh de la cuenta en el punto P es igual a  ¹/₂mv2, donde v es la velocidad de la cuenta al llegar a Q.

Queremos saber para qué enteros positivos n se cumple la igualdad

3ⁿ + 4ⁿ + ... + (n+2)ⁿ = (n+3)ⁿ

Para la temporada de vacaciones ofrecemos un truco matemágico con el que podrá asombrar a sus amigos y parientes que reciban una calculadora de regalo:

1. Dígales que elijan un número entre 1 y 1000. Llámelo N.
   
   
2. Luego pídales que calculen 1 más 1/N más dos veces la raiz cuadrada de 1/N; luego tomen la raíz cuadrada del resultado y guárdenla en la memoria presionando el botón M+.
   
   
3. Ahora pídales que calculen 1 + 1/N menos dos veces la raíz cuadrada de 1/N; luego tomen la raíz cuadrada del resultado y súmenla en la memoria presionando el botón M+.
   
   
4. Finalmente, pídales que recuperen el número de la memoria presionando MR (dicho número es la suma de los obtenidos en los pasos 2 y 3). Al mismo tiempo, entrégueles un sobre cerrado que usted sacó de su bolsillo, y pídales que lo abran. Cuando lean el número, pregunte
   
                       "es el número que obtuviste, no es cierto?"

Por supuesto, usted tendrá que preparar el sobre con el número por anticipado. La pregunta del mes es,

cuál es el número mágico qu0e debe poner dentro del sobre?

Explique su respuesta.

PM72: Noviembre 2007

Probar que para cada n, los enteros 1, 2, 3, ..., 2n – 1, 2n pueden particionarse en pares

{a₁, b₁}, {a₂, b₂}, ..., {a_n, b_n}

tales que a_i + b_i es primo para todo i.

Un círculo de centro O y radio 1cm rueda por dentro de un triángulo cuyos lados miden 6cm, 8cm y 10cm, siempre tocando uno o más lados al rodar. ¿Qué distancia recorre O en un circuito completo?

Se disponen 6 puntos de manera tal que los 15 segmentos que los unen dos a dos tienen diferentes longitudes y apuntan en direcciones diferentes. Pruebe que uno de los segmentos es el lado más largo de uno de los triángulos formados y es, al mismo tiempo, el lado más corto de otro triángulo.
  ¿Es verdadera la afirmación si comenzamos con 5 puntos (y los 10 segmentos que los unen siguen teniendo diferentes longitudes y diferentes direcciones)?