Solución del problema de enero, 2008

El problema:
	PM74: enero 2007 Queremos saber para qué enteros positivos n se cumple la igualdad 3n + 4n + ... + (n+2)n = (n+3)n

Respuestas correctas:
	Recibimos soluciones correctas de Saïd Amghibech (Quebec) Matthew Lim (USA) Timothy Calford (Ontario) Jacques Mertzeisen (Francia) Dan Dima (Rumania) Viktor Pačnik  (Eslovenia) Philippe Fondanaiche (Francia) John T. Robinson (USA) Xavier Hecquet (Francia) Heri Setiyawan (Indonesia)

La solución:

            La igualdad vale solamente para  n igual a 2 y 3.  Aunque todas las respuestas tenían la respuesta correcta, varios de los argumentos que acompañaban las soluciones eran incompletos. Parece que este mes los detalles eran complicados.
            Se verifica fácilmente que la igualdad se cumple para n=2 y 3:

n = 2: 3² + 4² = 25 = 5²,  y  n = 3: 3³ + 4³ + 5³ = 216 = 6³.

Para entender por qué la igualdad no se cumple para ningún otro valor de n, denotemos los lados izquierdo y derecho de la igualdad como

L_n = 3ⁿ + 4ⁿ + ... + (n+2)ⁿ  and  R_n = (n+3)ⁿ.

Para n = 1, L₁ = 1, R₁ = 4, y vemos que el lado izquierdo es menor. Luego vienen 2 y 3 donde ambos lados son iguales. A partir de allí,

Notemos que para n > 3 el lado derecho no solo es más grande, sino que parece crecer mucho más rápido que el lado izquierdo. Esto sugiere que tal vez la inducción nos ayude. Queremos probar que

Para  n ≥ 4, L_n < R_n.

Todas las soluciones correctas probaron esta afirmación básicamente de la misma manera. Usaremos aquí el argumento de Mertzeisen, levemente simplificado gracias un par de buenas ideas de Hecquet.

Lema. Si r ≥ 7 entonces (r + 3)^r > 2(r + 2)^r.

Prueba. (r + 3)^r  = ((r + 2) + 1)^r> (r + 2)^r + r(r + 2)^{r – 1} + ¹/₂ r(r - 1)(r + 2)^r-2.  Veamos que esta última suma es mayor que 2(r + 2)^r cuando r ≥ 7; esto es (luego de rescribirlo),

(*): (r + 2)²(r + 2)^r–2 + r(r + 2)(r + 2)^r–2 + ¹/₂ r(r - 1)(r + 2)^r-2 > 2(r + 2)²(r + 2)^r-2.

Como r + 2>0 podemos dividir ambos lados por (r + 2)^r-2 y reducir lo que  queda a

r² - 5r - 8 = (r - 7)(r + 2) + 6 > 0,

que claramente vale para r ≥ 7, de manera que vale (*).
            Ahora estamos listos para el argumento por inducción. Hemos establecido que L_n < R_n para valores pequeños de n, de manera que ahora asumimos que hemos establecido que L_n < R_n para todos los valores de n hasta algún k ≥ 5; es decir,

3^k + 4^k + ... + (k + 2)^k < (k + 3)^k                                          (1)

Debemos probar que (1) implica la desigualdad para n = k + 1.  Sumando (k + 3)^k a ambos lados de la ecuación (1) y multiplicando las sumas resultantes por (k + 3):

(k + 3)(3^k + 4^k+ ... + (k + 2)^k+ (k + 3)^k) < 2(k + 3)^k+1                         (2)

Como k + 3 es por lo menos tan grande como cualquiera de los números a la izquierda que están elevados a la k, deducimos de (2) que

3^k+1 + 4^k+1 + ... + (k + 3)^k+1< (k + 3)(3^k + 4^k + ... + (k + 3)^k) < 2(k + 3)^k+1,

mientras que por el lema (con r = k + 1 y k ≥ 6) tenemos

2(k + 3)^k+1< (k + 4)^k+1.

Entonces, por inducción, L_n < R_n para todo  n ≥ 4.