Solución del problema de Febrero, 2009

El problema:
	PM84: Febrero 2009 Encuentre un número de 6 dígitos n = abcdef tal que defabc es igual a 6 veces n. Se puede hacer lo mismo con un número de 8 dígitos? (es decir, transponer los primeros cuatro dígitos con los cuatro últimos y obtener 6 veces el número original?).

Respuestas correctas:

Recibimos soluciones correctas de Chris Abdnour Omran Kouba (Siria) Berkay Anahtarci (Turquía) Normand LaLiberté (Ontario) Jose Arraiz (Brasil) Sébastien Lebre (Francia) Bojan Basic (Serbia) Matthew Lim (USA) Luigi Bernardini (Italia) Jeff Lindstrom (Ontario) Lou Cairoli (USA) Jean-Luc Luyet (Suiza) Bernard Carpentier (Francia) Pavan Manjunan (India) Bernard Collignon (Francia) Daniel Nix (Australia) Olivier Cyr (Francia) Catherine Nadault (Francia) Philippe Fondanaiche (Francia) Shpetim Rexhepi (Macedonia) Baptiste Gorin (Francia) John T. Robinson (USA) Derek Graefer (Regina) K. Sengupta (India) Cornel Gruian (Rumania) Albert Stadler (Suiza) Karim Laaouini (Marruecos) Benjamin Louradour (Francia) Charles Huyghues Despointes (Francia)   Además, James Hovious nos envió una solución informática, y hubo tres respuestas incompletes. Presentaremos primero la solución del problema y luego discutiremos las generalizaciones.

La solución:

Solución de la parte (a).
            Sean A = abc, B = def nuestros enteros de tres dígitos que juntos forman
N = abcdef.  Sabemos que  6(1000A + B) = 1000B + A; entonces

5999A = 994B.

El máximo común divisor de  994 y 5999 es 7, lo que escribimos (994, 5999) = 7.  Se sigue que 857A = 142B, y como (142, 857) = 1, B debe ser múltiplo de 857.  Pero B es un número de 3 dígitos, de manera que B = 857 y entonces, A = 142.  Es decir, N = 142857 es el único número de 6 dígitos con la propiedad deseada:

6 × 142857 = 857142.

Comentarios.  Otra forma alternative es encontrar la factorización prima de 994 y 5999, es decir 994 = 2·7·71 y 5999 = 7·857.  Aunque factorizar es en general mucho más díficil que encontrar factores comunes, el problema es sencillo para una computadora si los números no son muy grandes. Agradecemos a LaLiberté por señalarnos una página web que calcula factores primos:

http://www.math.wustl.edu/primes.html.

Como discutimos abajo, muchas versiones de nuestro problema pueden ser encontradas en la literatura. Por ejemplo Cairoli encontró la parte (a) en la página de Dr. Math:

http://mathforum.org/library/drmath/view/53296.html.

Solución de la parte (b).
            La repuesta es NO, no existe tal número de 8 dígitos.  En forma análoga a la parte (a), sean A y B números de 4 dígitos tales que 6(10000A + B) = 10000B + A; entonces,

59999A = 9994B.

Como (9994, 59999) = 1 — de hecho 59999 es primo y 994 = 2·19·263 — deducimos que B es múltiplo de 59999.  Pero queríamos que B sea un número de 4 dígitos, y entonces no hay solución.

Generalizaciones.

            Varios lectores generalizaron el problema: comenzar con un número N cuya representación en base 10 tiene 2n dígitos, luego separar N en dos partes de longitud n e intercambiar las partes (sin cambiar el orden de los dígitos de cada parte); entonces el número resultante es igual a 6N si y sólo si 7 divide a 10ⁿ + 1 (o, equivalentemente, n ≡ 3 (mod 6)).  Para tal valor de n,

            Tanto Fondanaiche como Stadler fueron un poco más lejos y mostraron que solamente multiplicando por 1 ó 6 tiene respuesta el problema.  Concretamente, escribimos N = A·10ⁿ + B.  Queremos determinar enteros positivos A, B, n, k tales que A y B tienen n dígitos y k·(A·10ⁿ + B) = (B·10ⁿ + A); es decir,

10^n–1≤ A,B < 10ⁿ                         (1)
(10ⁿk – 1)A = (10ⁿ – k)B .            (2)

Deducimos inmediatamente de (1) y (2) que k ≤ 9.  A continuación transcribimos la prueba de Stadler de que si k > 1, entonces necesariamente k = 6, n = 6j + 3, y

Al igual que en la primera parte donde teníamos j = 0, N = 999,999 / 7 = 142857), aquí tenemos

Sea d = (10ⁿk – 1,  10n – k), el maximo común divisor de los multiplicadores de A y B en la ecuación (2).  Notemos que  (k –1, k + 1) es 2 ó 1 dependiendo de si k es impar o par.  Con esto deducimos que
            d =             (10ⁿk – 1 – k(10ⁿ – k),  10ⁿ – k) = (k² – 1,  10ⁿ – k)
            =             (k – 1, 10ⁿ – k) · (k + 1, 10ⁿ – k)
            =             (k – 1, 10ⁿ – 1) · (k + 1, 10ⁿ + 1).                                          (3)
Deducimos de (3) que si k = 2, 3, 5, 9, entonces d = 1.  Cuando k es 4 ó 7,
d = (3, 10ⁿ – 1) = 3.  Cuando k = 8: 7 divide a 10ⁿ – 1 si y solo si n es múltiplo de 6 (porque 106^j = (10⁶)^j ≡ 1 (mod 7)).  Entonces

Cuando k = 6, como 1001 = 7·143,

Si ponemos  g = (A, B) entonces (2) es

Como B debe tener n dígitos, se tiene que cumplir gk < d.  Como d solo puede ser 1 ó 7 y k 6 ú 8, necesariamente g=1, y entonces k < d fuerza k = 6. La única posibilidad es entonces d = 7, k = 6, g = 1, n ≡ 3 (mod 6).

Números periódicos.

, mientras que

Notemos que 9/11 = (4.5) × 2/11, y de ahí el problema
Encuentre el menor entero tal que si el dígito a la izquierda del número se transfiere a la derecha del número, el nuevo número es cuatro veces y media el número original.

No sabemos cuántos dígitos usar, de manera que ponemos

N = a_na_n–1a_n–2…a₂a₁a₀ ,

 ⁹/₂ N =a_n–1a_n–2…a₂a₁a₀a_n .

Consideremos el número periódico

donde la parte periódica son presicamente los dígitos de N.  Entonces

y

El primer número, x/10, es un número periódico donde los dígitos repetidos son los de N, mientras que el segundo número es también periódico donde los dígitos que se repiten son los de 9N/2.  Se sigue que

y

11x = 20a_n.

Queremos el menor N, y tomamos a_n = 1, y entonces x = 20/11 = .1818..., N = 18.
            La discusión precedente se basa en The Gentle Art of Mathematics by Dan Pedoe, páginas 11-15, salvo que en su problema él usó 3/2 en lugar de 9/2 en nuestra versión simplificada.
            Veamos cómo utilizar el método de Pedoe para atacar la parte (a) de nuestro problema de febrero:
Aquí N = abcdef, y ponemos x = .abcdefabcdef… , y = abc.  Entonces

1000x – y = 6x,

y = 994x = 2·7·71x.

El único valor de x periódico que hace que y tenga 3 dígitos es x = 1/7.  Entonces x = .142857142857…, y N = 142857.