¿Qué puede decirse sobre los ángulos de un triángulo que tiene la propiedad de que si se divide la suma de los cubos de los lados por el perímetro, se obtiene el cuadrado de uno de los lados?

En el mes 3, ofrecemos un problema en tres partes.

Decida en cada caso si existen enteros s,t, mayores que 1, tales que:

1. (s^s)² = t^t?
   
   
2. ( s^s)²⁰¹⁰ = t^t?
   
   
3. s^(s2010) = t^t?

Muestre que el producto

es una potencia de 2.

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Blancanieves se casó con el príncipe y vivieron felices. Con el tiempo la mina cerró y los enanos se jubilaron y se mudaron a diferentes ciudades, manteniéndose en contacto por email. Se siguen juntando para hacerse regalos en Navidad, pero organizar los regalos se ha convertido en un problema. Cuando vivían juntos, sacaban nombres de una bolsa para decidir quién le hacía el regalo a quién. Pero ahora ya no pueden hacerlo porque no se ven antes de Navidad. La idea natural es que uno de los enanos se encargue de hacer el sorteo, pero esto presenta dos problemas:

1. el enano que hace el sorteo sabe quién le hará el regalo a él, lo que arruina la sorpresa
   
   
2. no hay garantía de aleatoriedad: el que hace el sorteo podría hacer el reparto de nombres a voluntad; esto es un problema porque Doc y Gruñón tienden a protestar

Nuestro problema de diciembre consiste en diseñar un método -- vía email -- que remplace el sorteo y que deje a todos satisfechos. Es decir, diseñe un método para que los enanos y Blancanieves intercambien información por email de manera que

1. No haga falta ayuda de otras personas o de software;
   
   
2. Todos terminan con el nombre de una persona a la que comprar un regalo; todos reciben un regalo, y todos hacen un regalo.
   
   
3. Nadie sabe el nombre de la persona que le hace el regalo, y nadie tiene la posibilidad de decidir que X le haga el regalo a Y

Tal vez se pueda lograr un método mejor que el de la bolsa: si un enano saca su propio nombre, el sorteo debe repetirse. Intente diseñar un método en el que esto no pueda suceder.

Un torneo por eliminación es una competencia que consiste en multiples rondas. En cada ronda juegan dos competidores; el ganador pasa a la siguiente ronda, y el perdedor queda eliminado. Cuando un competidor no tiene rival asignado, se le da un pase, lo que significa que pasa directamente a la siguiente ronda. Nos interesa saber cuál es el mínimo número de pases en un torneo que tiene n competidores. Por ejemplo, cuando hay 6 participantes, el torneo puede tener dos pases en la primera ronda, o puede no tener pases en la primera ronda y tener uno en la segunda; entonces el mínimo número de pases para un torneo de 6 competidores es uno.

1. ¿Cuál es el número mínimo de pases en un torneo por eliminación con 2010 participantes?
   
   
2. Por diversos problemas solamente pudieron competir 1025 participantes. ¿Cuántos pases debe haber en el nuevo cuadro?

La función f(x) satisface dos propiedades:

(i) f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)];
(ii) f(1) = 1.

¿Cuánto vale f(22/7)?