Solución del problema de febrero, 2012

El problema:
	¿Existe una función real acotada $f(x)$ tal que $f(1)>0$ y tal que $$\left(f(x+y)\right)^2 \ge \left(f(x)\right)^2 + 2f(xy) +\left(f(y)\right)^2$$ para todo par de números reales $x,y$?

Solución: No, no existe tal función Recibimos soluciones correctas de Lamis Alsheikh (Siria) Lou Cairoli (USA) Bernard Collignon (Francia) Hubert Desprez, (Francia) Mei-Hui Fang (Austria) Frank Feys Verena Haider (Austria) Benoît Humbert (Francia) Omran Kouba (Siria) Marc Lichtenberg (Francia) Matthew Lim (USA) Albert Stadler (Suiza) Alessandro Ventullo (Italia)   También recibimos tres soluciones incompletas.

La solución:

Las respuestas utilizaron dos métodos para la no-existencia.

Método 1. Sea $x_0=1$ y definamos $x_{n+1}=x_n + \frac1{x_n}$. De la desigualdad del problema obtenemos
\begin{eqnarray*}
f^2(x_{n+1}) &=& f^2\left(x_n + \frac1{x_n}\right)\\
&\ge& f^2(x_n) +2f(1) + f^2\left(\frac1{x_n}\right) \ge
f^2(x_n) + 2f(1).
\end{eqnarray*}
Aplicando recursivamente esta desigualdad, deducimos que
$$f^2(x_n) \ge f^2(1) + 2nf(1),$$
que crece indefinidamente.

Método 2. Supongamos que $f$ es acotada; entonces $f^2$ también es acotada. Sea $s$ el supremo de $f^2$ sobre todos los $x\ne0$. Es decir, $s=\sup_{x\ne 0}f^2(x)$ es el menor número
tal que $f^2(x) \le s$ para todo número real $x\ne0$.
Para $x$ distinto de cero tenemos
$$f^2\left(x+\frac1x\right) \ge f^2(x) + 2f(1) +f^2\left(\frac1x\right)\ge f^2(x) +2f(1),$$
de manera que (utilizando que para todo $x \ne 0$, $x+\frac1x=\frac{x^2+1}x\ne0$)
$$s=\sup_{x\ne 0}f^2(x) \ge \sup_{x\ne 0}f^2\left(x+\frac1x\right) \ge \sup_{x \ne 0}\left((f^2(x) + 2f(1)\right) = s + f(1).$$
Es decir, $s \ge s + f(1)$, lo que implica $f(1) \le 0$, contradiciendo la hipótesis
$f(1)>0$.

Comentarios.
El problema de febrero fue el problema \#5 en la forma decimoprimera de la ronda
final de las XXXI OlimpÌadas Matem·ticas Rusas(2005). El autor, N. Agakhanov,
probablemente eligió el coeficiente "2" para $f(xy)$ (en la desigualdad) por razones estéticas. Como señala Hubert Desprez, podrÌa haber sido 2012 o cualquier otro número positivo (Desprez también mostró, mediante un argumento muy sencillo, para el caso en que no hay término $f(xy)$). Nos dice también que el número 1 tampoco juego un rol esencial, y que la condición $f(1) \ge 0$ podrÌa haber sido remplazada por $f(c) > 0$ para cualquier constante $c$. Sin embargo, la positividad es necesaria; Lim notó que la función $f(x)=-1$ es acotada y satisface la desigualdad funcional (pero por supuesto no cumple $f(1)>0$); Kuba sugiere, para tener un ejemplo no constante, la función $f(x)=-\min(1,|x|)$.