Solución del problema de Septiembre, 2011

El problema:
	Encuentre los enteros positivos $m$ y $n$ tales que las raíces de las ecuaciones $$x^2 - mx + (n+1) = 0 \quad \mbox{ and } \quad x^2 - (n+1)x + m = 0$$ son enteros positivos tales que, junto con $m$ y $n$, forman (en algún orden) una progresión aritmética cuya suma es 21.

Respuestas correctas:

El problema de septiembre viene de un conjunto de problemas para entrenamiento olímpico compilado por Ed Barbeau en 1994. Recibimos soluciones correctas de Recibimos soluciones correctas de Jose Arraiz (Brasil) Diana Andrei (Suecia) Quentin Baudenon (Francia) Luigi Bernardini (Italia) Lou Cairoli (USA) Bernard Collignon (Francia) Ignacio Somma Esteves (Uruguay) Mei-Hui Fang (Austria) Philippe Fondanaiche (Francia) Jan Fricke (Alemania) Wilfrid Gao (USA) Gruian Cornel (Rumania) Benoît Humbert (Francia) Tom Holens (Manitoba) Ile Ilijevski (Macedonia) Kipp Johnson (USA) Omran Kouba (Siria) Normand Laliberté (Ontario) Lethe Li (USA) Roopesh Mangal (Malasia) Remo Mantovanelli (Italia) Omran Kouba (Siria) Alex Love (Ontario) Christian Pont (Francia) Nawal Kishor Mishra (India) Mathias Schenker (Suiza) Albert Stadler (Suiza) Hakan Summakoğlu (Turquía) A. Teitelman (Israel) Vijaya Prasad Nalluri (India) Paul Voyer (Francia) Matthew Lim (USA)

La solución:

El primer paso en todas las soluciones recibidas fue notar que los seis enteros deben ser distintos (ya que una progresión aritmética trivial con el mismo entero repetido seis veces no puede sumar 21) y que la menor progresión aritmética de seis enteros positivos distintos suma 21; en consecuencia


las cuatro raíces y los dos par·metros $m$ y $n$ son los números 1 a 6 en algún orden.
(De hecho, la información de que los números forman una progresión aritmética es redundante: cualquier conjunto de seis enteros positivos distintos suma al menos 21.)

Las respuestas incluyeron cuatro métodos para completar la solución. Sean $r_1,s_1$ las raíces de la primera ecuación cuadr·tica y $r_2, s_2$ las de la segunda.

Método 1. Casi todas las respuestas notaron que $m+n=10$; he aquí el argumento.
Sabemos que $$r_1+s_1+r_2+ s_2+m+n=21,$$
y sabemos que las raíces de una ecuación cuadr·tica mónica suman el negativo del coeficiente de $x$:
$$r_1+s_1 = m \quad \mbox{ y } \quad r_2+ s_2 = n+1.$$
Combinando estas ecuaciones,
$$21 = (r_1+s_1)+(r_2+ s_2)+m+n = m+n+1+m+n = 2m + 2n +1,$$
de donde $m+n=10$, como se dijo. Adem·s, como $m$ y $n$ son a lo sumo 6 y distintos,
las únicas posibilidades son $m=6$ y $n=4$, ó $m=4$ y $n=6$. El segundo par produce un par de cuadr·ticas que no tienen soluciones enteras. Para $m=6$, $n=4$ las cuadr·ticas son
$$x^2 - 6x + 5 = 0 \quad \mbox{ y } \quad x^2 - 5x + 6 = 0,$$
cuyas raíces son 1 y 5 (para la primera), 2 y 3 (para la segunda); el problema est· resulto.

Método 2. Aquí nuevamente utilizamos el hecho de que la suma de las raíces de
una ecuación cuadr·tica es menos el coeficiente de $x$ y, adem·s, que su producto es el término constante. Es decir, $$r_1+s_1=m=r_2s_2, \quad \mbox{ y } \quad r_2+s_2 = n+1 = r_1s_1.$$
Como estamos trabajando con enteros positivos, deducimos que $m$ y $n+1$ son al menos tan grandes como cualquiera de las raíces. Eso significa que $m$ y $n$ pueden ser solamente 4, 5, ó 6. Sabemos por la parte 1 que una de las raíces debe ser 1, y que 1 no puede ser raíz de la ecuación 2 porque tendríamos $1 \cdot s_2 = m$, contradiciendo la condición $m\ne s_2$. Esto nos deja con la única posibilidad de que $1 \cdot s_2 = n+1$, de donde $s_2 = 5$ (no puede ser 6 porque $m > s_2$) y entonces $n=4$.

Método 3. Aquí una vez m·s utilizamos el hecho de que $r_1s_1 = n+1$, $r_2s_2 = m$.
La segunda igualdad nos dice que el producto de dos de los números de 1 a 6 es igual a un tercero --- la única posibilidad es $2 \cdot 3 = 6$, que inmediatamenten nos da $m=6$. Nos quedan 1, 4, y 5 para la ecuación $r_1s_1 = n+1$, lo que fuerza $n=4$.

Método 4. Los discriminantes de las cuadr·ticas,
$$m^2-4(n+1) \quad \mbox{ y } \quad (n+1)^2 - 4m, $$
deben ser cuadrados (para obtener raíces enteras). Revisando los 30 pares $m$ y $n$ de enteros distintos entre 1 y 6, se encuenta que solamente la elección $n=4$, $m=6$ produce un cuadrado en el segundo discriminante. Felizmente también produce un cuadrado en el primero.