Solución del problema de Enero, 2013

El problema:
	Tenemos cinco segmentos de recta tales que cualquier grupo de tres puede ser utilizado para formar un trángulo que los tiene como lados (es decir, dados tres segmentos cualesquiera, la suma de las longitudes de dos de ellos excede la longitud del tercero). Pruebe que al menos uno de los diez trángulos posibles es agudo (es decir, sus tres ángulos interiores son agudos).

Respuestas correctas:

Recibimos soluciones correctas de Lamis Alsheikh (Siria) Diana Andrei (Suiza) Aleksandar Blazhevski (Macedonia) Lou Cairoli (USA) Bernard Carpentier (Francia) Bernard Collignon (Francia) Hubert Desprez (Francia) Allen Druze (USA) Mei-Hui Fang (Austria) Philippe Fondanaiche (Francia) Jan Fricke (Alemania) Georges Ghosn (Quebec) Pierre Gobin (Francia) Gruian Cornel (Rumania) Tony Harrison (England) Benoît Humbert (Francia) Codreanu Ioan (Romania) Gilbert Julia (Francia) Matthew Lim (USA) Patrick J. LoPresti (USA) Vincent Pantaloni (Francia) Albert Stadler (Suiza) Daniel Văcaru (Romania) Arthur Vause (UK) Zhengpeng Wu (China)

La solución:

Comencemos revisando la geometría necesaria. Como es usual, usamos la misma letra mayúscula para representar tanto el vértice de un trángulo como la medida del ángulo correspondiente, y la misma letra en minúscula para representar el lado opuesto y su longitud. Entonces el trángulo $ABC$ tiene lados $a$, $b$, $c$. El ángulo $A$ es agudo, recto u obtuso dependiendo de si $a$ es menor, igual o mayor que $\sqrt{b^2+c^2}$. Esto se puede ver con la ley del coseno,
$$a^2 = b^2+c^2 - 2bc\cos A,$$
y notando que $\cos A>0$ cuando $A < 90^\circ$ (lo que hace $a^2<b^2 + c^2$), cero cuando $A = 90^\circ$, y negativo cuando $A > 90^\circ$ (en cuyo caso $a^2>b^2 + c^2$).

Para nuestro problema tenemos cinco segmentos $a,b,c,d,e$. Podemos etiquetarlos de manera que
$$a \le b \le c \le d \le e.$$
Con esta convención, es necesario y suficiente asumir
$$a + b > e$$
para que se satisfagan las 10 desigualdades triangulares.

Supongamos que los diez trángulos son todos obtusos o rectángulos. Esto implica, entre otras cosas, que
$$e^2 \ge c^2 + d^2, \quad c^2 \ge a^2 + b^2, \quad \mbox{ y } \quad d^2 \ge a^2 + b^2.$$
Entonces, utilizando las desigualdades en el orden dado tenemos que
$$(a+b)^2 > e^2 \ge c^2 + d^2 \ge a^2 + b^2 + a^2 + b^2.$$
Es decir,
$$ a^2 + 2ab + b^2 > 2a^2 + 2b^2,$$
ó
$$0 > a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2.$$
Pero cero no puede ser mayor que el cuadrado de un número real. Esta contradicción nos fuerza a concluir que al menos uno de los trángulos debe tener tres ángulos agudos.

Comentarios. Nuestro problema de enero fue el número 6 de Pi in the Sky, volumen 12 (Fall 2008); la solución fue publicada en el número siguiente, volúmen 13 (Fall 2009), pág. 29. Se puede encontrar la versión on-line en

http://media.pims.math.ca/pi_in_sky/pi13.pdf.

Varios lectores notaron que con cuatro segmentos en lugar de cinco, es posible que todos los trángulos sean obtusos. En el ejemplo de LoPresti, los cuatro segmentos son 6, 6, 9, 11: como $6+6>11$, podemos estar seguros de que los segmentos pueden utilizarse para formar los trángulos {6, 6, 11}, {6, 6, 9}, y {6, 9, 11}; además, los tres trángulos son obtusos (porque $6^2+6^2<81$ y $6^2+9^2<121)$.

Collignon y Desprez consideraron brevementa la cuestión de si con cinco segmentos dados tenemos la garantía de tener al menos dos trángulos agudos. Aunque la respuesta puede ser sí, ambos mostraron (independientemente) que la respuesta es no si permitimos trángulos obtusos degenerados; su ejemplo usó los segmentos $1,1,\sqrt 2, \sqrt 3, 2$. Lamentablemente, los segmentos 1, 1, y 2 no forman un trángulo propio.